Актуальность темы и степень ее разработанности. В настоящее время для изучения динамических процессов, наблюдаемых в разных областях естествознания, широко используются математические модели в форме нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. Переход от обработки эмпирических и экспериментальных данных к построению и анализу адекватных математических моделей позволяет существенно продвинуться в понимании механизмов сложных процессов в механике жидкостей и газов, климатических изменений, динамике нейронных и популяционных систем, химической кинетике и т.п., и перейти к решению актуальных задач управления такими процессами.
Присутствие случайных возмущений является неизбежным атрибутом функционирования любой реальной системы. Взаимосвязь нелинейности и стохастич- ности зачастую приводит к новым явлениям, не имеющим аналогов в исходных детерминированных моделях. В настоящее время насущной задачей математического моделирования является разработка новых подходов и универсальных математических методов, ориентированных на конструктивный анализ таких явлений в нелинейных стохастических моделях современного естествознания.
Если в детерминированном случае такой универсальный математический подход, использующий бифуркационный анализ и теорию устойчивости, в настоящее время достаточно хорошо разработан, то теория и методы нелинейного стохастического анализа еще только формируются.
Первые математические модели, использующие стохастические дифференциальные уравнения, появились в работах С.Н.Бернштейна, И.И.Гихмана, К.Ито, Р.Л. Стратоновича. Развитие стохастического анализа привело к появлению новых моделей с интегралами по мартингалам, точечным и Леви процессам [1, 2, 3].
Современная теория устойчивости и управления стохастическими динамическими системами формировалась в работах таких ученых как Н.Н. Красовский, Р.З. Хасьминский, И.Я. Кац, H.J. Kushner, W.H. Fleming, В.Б. Колмановский, А.Б. Куржанский, Г.Н. Мильштейн, П.В. Пакшин, Ф.Л. Черноусько, Б.И. Ананьев, M. Aoki, L. Arnold, K.J. Astrom, R.S. Bucy, X. Mao, J.L. Willems, W.M. Wonham и многих других.
Воздействия случайных возмущений на автоколебательные режимы, возникающие в нелинейных моделях, исследовались в работах Л.С. Понтрягина, А.А. Андронова, А.А. Витта, Р.Л. Стратоновича, С.М. Рытова, Ю.И. Неймарка, П.С. Ланда, В.В. Болотина, М.Ф. Диментберга, В.С. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой, А.А. Короновского, А.Е. Храмова, В.И. Некоркина, Г.В. Осипова, С.П. Кузнецова, А.Б. Неймана, А. Пиковского, А.А. Дубкова, R.A. Ibrahim, W. Horsthemke, R. Lefever, J. Duan, A. Pisarchik, J. Kurths, B. Spagnolo, S. Boccaletti и других.
В настоящее время интенсивно исследуются такие нелинейные стохастические явления, как вызванные шумом переходы, стохастические бифуркации, стохастический и когерентный резонанс, вызванный шумом порядок и хаос, вызванная шумом синхронизация, возбудимость, перемежаемость, мультимодальность, вызванные шумом кризисы.
Подобные явления, свидетельствующие о конструктивном характере шумов, обнаружены во многих нелинейных стохастических системах, моделирующих реальные процессы, относящиеся к различным областям естествознания. В частности, такие стохастические явления наблюдаются и в обсуждаемых в диссертации направлениях, связанных с механикой потоков, с химической кинетикой, с популяционной динамикой, с нейронной активностью, с климатической и вулканической динамикой. Основным инструментом исследования таких нелинейных стохастических явлений пока остается прямое численное моделирование [4, 5]. В рамках этого чрезвычайно затратного метода сложно получить ясные параметрические описания разнообразных стохастических режимов исследуемых моделей. Для проведения детального параметрического анализа, позволяющего выяснить вероятностные механизмы этих новых стохастических явлений, требуется разработка аналитических подходов.
Сравнительный анализ представленного в литературе широкого круга нелинейных стохастических эффектов позволяет выделить главные причины, их вызывающие. В исследовании индуцированных шумами переходов определяющую роль играет взаимное расположение разброса случайных состояний вокруг аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Исчерпывающее вероятностное описание динамики вероятностных распределений в моделях, использующих стохастические дифференциальные уравнения, дается соответствующим уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Аналитическое решение этого уравнения возможно только в одномерном случае. В случае систем с малыми шумами здесь возникают известные сложности анализа уравнений с малыми коэффициентами при старших производных. В этих обстоятельствах важны подходы, дающие конструктивные аппроксимации для искомых статистических характеристик. В частности, разработан метод, связанный с обрывом бесконечной последовательности уравнений для моментов высших порядков [6], методы стохастического усреднения [7, 8], аппроксимации в переменных амплитуды и фазы [9], метод квазипотенциала [10]. В случае равновесия и цикла квадратичная аппроксимация квазипотенциала была построена в [11]. Параметры соответствующей квадратичной формы задаются матрицей, получившей в дальнейшем название матрицы стохастической чувствительности. Метод функций стохастической чувствительности, использующий другой подход, связанный с системами первого приближения, развивался в цикле совместных работ [12, 13, 14, 15] автора диссертации.
Во многих реальных процессах адекватной математической моделью действующих случайных возмущений являются цветные шумы, имеющие те или иные характерные корреляционные временные характеристики [16]. Важная роль цветных шумов была обнаружена во многих системах самой разной природы, например, в лазерах, сейсмологии, биохимии, динамике популяций, кинетике роста микроорганизмов, динамике роста опухолей. Для анализа вероятностных механизмов этих явлений несомненно актуальным является представленное в диссертации распространение теории стохастической чувствительности на случай систем с цветными шумами.
Изучение взаимного влияния стохастических и периодических возмущений на поведение нелинейных динамических систем также является темой обширных исследований. Даже в детерминированном случае, динамические системы с периодически меняющимися параметрами являются широко распространенными математическими моделями в естествознании и технике. Например, в анализе динамики популяционных и климатических систем важную роль играют изменения внешних условий, связанные с суточными и сезонными ритмами. Такие системы могут демонстрировать разнообразие динамических режимов с периодическими, апериодическими и даже хаотическими колебаниями. Детерминированные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами исследовались в работах Ю.А. Митропольского, А.М. Самойленко, Д.И. Мартынюка, В.А. Якубовича и многих других...
В п.5.5.2 исследован стохастический вариант модели «хищник-жертва» с Олли эффектом и трофической функцией Холлинга II типа, задаваемой стохастическими дифференциальными уравнениями с параметрическими шумами. Теоретические результаты п.4.2.4 по управлению доверительными областями используются здесь для решения задачи предотвращения индуцированного шумом вымирания. Исследована достижимость и найдены коэффициенты стабилизирующий регуляторов для разной структуры управляющих воздействий.
В п. 5.5.3 для модели, описывающей взаимодействие фито- и зоопланктона, со случайными возмущениями размеров экологической ниши с помощью теоретических результатов глав 2,3 исследуются изменения численности популяции, связанные со стохастическими бифуркациями циклов-канардов, переходом к хаосу и генерацией фантомных аттракторов.
П. 5.6 посвящен приложению методов стохастического анализа из глав 2,3 к некоторым процессам из области геофизики. В п. 5.6.1 рассматривается стохастический вариант трехмерной климатической модели Зальцмана, связывающей изменение концентрации углекислого газа в атмосфере с динамикой массы льда и температуры в глубине океана. В этой модели была обнаружена интересная математическая особенность, связывающая анализ климатической динамики с исследованием поведения модели в зоне седло-узловой бифуркации на инвариантной кривой. Здесь для анализа стохастической генерации большеамплитудных осцилляций конструктивно применяется метод доверительных эллипсов в сечениях Пуанкаре, отвечающих главным направлениям доверительных эллипсоидов.
В п.5.6.2 исследуются процессы вулканической активности на основе трехмерной нелинейной динамической модели с переменными, отвечающими за скорость вулканической пробки, давление магмы и объем канала. С помощью методов стохастического анализа, разработанных в диссертации, найдена параметрическая зона, где даже малые случайные возмущения коэффициентов трения в канале вулкана могут вызывать периодически повторяющиеся выбросы магмы значительных объемов.
В Главе 6 дается описание комплекса программ, реализующих разработанные в рамках диссертационного исследования численные процедуры и алгоритмы, позволяющие эффективно применять оригинальные методы моделирования, анализа и управления стохастическими нелинейными динамическими системами. С помощью этого комплекса в диссертации решен широкий круг актуальных исследовательских задач, возникающих в современных разделах естествознания.
В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулированы основные результаты, представлены рекомендаци и перспективы дальнейшей разработки темы...
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
