Введение 3
§1. Предварительные сведения 5
§2. 2-квазитождества от n переменных 12
§3. 2-квазитождества от трех переменных 16
§4. 2-квазитождества от четырех переменных 31
Заключение 36
Литература 37
Теория квазимногообразий алгебраических систем - одно из бурно развивающихся направлений современной математики, находящееся на стыке алгебры и математической логики. Основы этой теории заложены выдающимися математиками - А.И. Мальцевым и А. Тарским.
Квазимногообразия - это классы групп, определяемые формулами специального вида "квазитождествами". Интерес к ним объясняется следующими причинами. Во-первых, языки квазитождеств являются наиболее простыми и естественными, в то же время весьма тонкие свойства записываются на языках квазитождеств. Во-вторых, в этих классах имеют место структурные теоремы.
Немаловажную роль в теории квазимногообразий играют полумногообразия. Понятие полумногообразия было введено в [1]. Позже в [2] (см. также [3]) была выявлена тесная связь между полумногообразиями и группами с одним определяющим соотношением, что позволило использовать глубокие результаты теории групп при исследовании полумногообразий. В частности, в [4] доказано, что квазимногообразие, порожденное всеми собственными полумногообразиями групп, не совпадает с классом всех групп. Полумногообразия также изучались в [5],[6].
Следующий шаг изучения квазимногообразий - это исследование 2- квазитождеств в квазимногообразиях групп. Ранее Д.В. Ильина ([7], [8], [9], [10]) исследовала 2-квазитождества от трех, четырех, пяти и n переменных в квазимногообразии, заданном тождествами:
(8х)(х3= 1), (Vx)(Vy)(Vz)([x,y,z] = 1).
Доказала, что всякое 2-квазитождество от трех, четырех и пяти переменных является тривиальным. Установила, что любое 2-квазитождество от n переменных, в левой части которого содержится некоммутаторное слово, является тривиальным.
В данной работе представлены сведения из теории групп и квазимногообразий 2-ступенно нильпотентных групп. Исследуются 2-квазитождества от трех, четырех и n переменных и их эквивалентность полутождествам в квазимногообразии, заданном тождествами:
(Vx)(x4 = 1);(Vx)(Vy)([x,y]2= 1);(Vx)(8y)(Vz)([x,y,z]= 1).
Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на XVII Региональной конференции по математике "МАК"(Барнаул, 2014), на международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования» (Барнаул, 2015). По теме магистерской диссертации имеются 2 публикации [11], [12].
Структура и объем работы. Магистерская диссертация состоит из введения, 4 параграфов, заключения, списка литературы из 12 источников. Общий объем работы составляет 39 страниц.
В работе были исследованы формулы специального вида, называемые 2- квазитождествами, от трех, четырех и n переменных. Доказано, что всякое 2-квазитождество от n переменных, в левой части которого содержится некоммутаторное слово с суммой показателей по некоторой переменной из множества {1,3} эквивалентно полутождеству в многообразии 2-ступенно нильпотентных групп экспоненты 4 с коммутантом экспоненты 2. Показано, что всякое коммутаторное 2-квазитождество от трех и четырех переменных в этом квазимногообразии является тривиальным. Также в ходе работы было выявлено, что не всякое 2-квазитождество от трех переменных является тривиальным в квазимногообразии M.
