Тема: РЕШЕТКИ ПОДКОЛЕЦ КОЛЕЦ ПОРЯДКА

Описание и классификация ассоциативных колец малых порядков имеют продолжительную историю. Подробную информацию о ней можно найти в работе [1]. Уточним терминологию: под классификацией конечных колец будем понимать описание колец с точностью до изоморфизма, позволяющее произвести подсчет количества неизоморфных колец. К настоящему времени описаны конечные кольца порядков до р6 (р - простое число) включительно (см. [2]), а полная классификация имеется только для колец порядков, не превосходящих р3 (см. [3]). До сих пор остаются неклассифицированными нильпотентные кольца порядка р4. Как отмечено в упомянутой выше работе [1], нильпотентные кольца трудны для исследования. В монографии [4], посвященной нильпотентным кольцам, авторы привели описания нильпотентных колец порядков р2,р3 и положили начало классификации нильпотентных колец порядка р4. Ими, в частности, описаны с точностью до изоморфизма однопорожденные нильпотентные кольца на группе типа (р2, р2), нильпотентные кольца на группе типа (рп, р) и нильпотентные алгебры размерности 4 над полем. Из последних достижений, относящихся к исследованию нильпотентных колец порядка р4 , отметим описание колец порядка р4, удовлетворяющих тождеству х2 = 0 (о нем сообщалось в работе [5]) и описание колец порядка р4, содержащих независимые элементы (см. [6]). Ненильпотентные кольца порядка р4 описаны в работе [7].
В основе классификации конечных колец лежит разделение колец на классы по типу аддитивной группы кольца. Для колец порядка р4 таких типов
будет 5: (р4), (р3, р), (р2, р2), (р2, р, р) и (р, р, р, р). Сама классификация заключается в определении операции умножения на прямой сумме циклических групп и нахождении условий, при которых получаемые кольца могут оказаться изоморфными.
Одним из важных производных объектов, связанных с алгеброй А, является ее решетка подалгебр L(A). В современной алгебре существует направление, в котором изучаются взаимные связи между свойствами алгебры A и свойствами ее решетки подалгебр L(A). Знание решеток подалгебр алгебр небольших размерностей позволяет проверять гипотезы, строить контрпримеры, формулировать предположения, а иногда использовать в доказательствах утверждений. Этим объясняется актуальность описания решеток подалгебр алгебр малых размерностей. Описание может быть получено в виде диаграммы решетки и тогда появляется возможность визуального изучения строения решетки.
В данной выпускной работе объектом исследования являются решетки подколец нильпотентных колец порядка р4 (р - произвольное простое число). Выбор данного объекта определяется, во-первых, тем, что решетки подколец колец порядков р2 и р3 уже описаны (см. [8]) и активно используются, а во-вторых, тем, что имеется описание значительной части нильпотентных колец порядка р4 (см. [4]). Цель исследования состоит в нахождении диаграмм решеток подколец нильпотентных колец типов (р4), (р3, р), (р2, р2), (р2, р, р).
Работа состоит из двух глав. В первой главе приводятся используемые в выпускной работе понятия, изучаются их основные свойства. При описании строения конечных абелевых групп использован учебник А.Г. Куроша [9], свойства нильпотентных колец изложены по книге Р. Круза и Д. Прайса [4], основы теории решеток рассмотрены по учебному пособию С.С. Коробкова [10]. Основные результаты выпускной работы содержатся во второй главе. Описание решеток подколец нильпотентных колец получено в виде диаграмм решеток. При этом использовано описание нильпотентных колец порядка р4 из упомянутой выше книги [4], а также строение решеток подколец длины 3 из статьи [8].
Купить

1. В выпускной работе изложено строение конечных абелевых групп, основные свойства нильпотентных колец, основы теории решеток.
2. Описаны решетки подколец нильпотентных колец на группе типа (р4) (теорема 6.2).
3. Описаны решетки подколец нильпотентных колец на группе типа (р3, р) (теоремы 7.2 и 7.4).
4. Описаны решетки подколец нильпотентных колец на группе типа (р2, р2) (теоремы 8.2 и 8.3).
5. Описаны решетки подколец известных нильпотентных колец на группе типа (р2, р, р) (теоремы 9.2 и 9.4).
Из сказанного выше следует, что поставленная цель исследования достигнута. Полученные результаты могут быть использованы при изучении решеточных свойств ассоциативных колец. Дальнейшие исследования могут быть продолжены в следующих направлениях:
1. Получение полного описания нильпотентных колец на группах типов (р2, р2), (р2, р, р) и описание решеток подколец нильпотентных колец типа (р2, р, р)).
2. Описание решеток подколец нильпотентных колец типа (р, р, р, р).
3. Описание решеток подколец ненильпотентных колец порядка р4.
Купить