Введение 4
Глава 1. Идентификация кратных корней знаменателя спектральной плотности стационарных процессов 6
1.1. Основные определения 6
1.2. Оценка коэффициентов стохастического уравнения 10
1.3. Определение порядка процесса авторегрессии 13
1.4. Выявление кратных корней характеристического полинома 14
1.5. Оценка погрешностей параметров а и ш у процесса АР(2) 17
1.6. Моделирование процесса с дискретным параметром 20
Глава 2. Практическое применение 22
2.1. Стационарный процесс с дискретным параметром 22
2.2. Подбор стационарной модели по методу Юла-Уокера 26
2.3. Подбор стационарной модели с помощью пошагового метода 34
2.4. Сравнительная характеристика методов 42
2.5. Приложение 44
Заключение 46
Список литературы 47
В современном мире статистическая обработка временных рядов используется для выявления изменения тенденций, периодических закономерностей, для прогноза ряда или его моделирования. В данной работе основное внимание было уделено исследованию стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью, а именно, изучению методов выявления кратных корней знаменателя спектральной плотности стационарных моделей.
Определение. Случайный процесс X(t) называется стационарным в широком смысле, если математическое ожидание процесса является константой, то есть EX(t) = с, кроме того, E|X(t)|2 < м и корреляционная функция R(t,s) = EX(t)X(s) зависит, лишь от разности, t — s: R(t, s) = R(t — s).
На практике очень часто встречаются случайные процессы, квадратичные характеристики которых остаются неизменными во времени. Именно эти процессы и называются стационарными. Исследование подобных процессов осуществляется с помощью методов теории вероятностей и математической статистики.
Основная цель работы состоит в том, чтобы исследовать возможность идентификации и оценки кратности корней знаменателя спектральной плотности стационарных моделей. Поставленный вопрос имеет важную роль, поскольку наличие кратного корня говорит о том, что в данной точке существует пик у спектральной плотности, то есть происходит резонанс.
Изучение свойств спектральной плотности стационарных процессов дает возможность характеризовать спектральный (или частотный) состав процесса. Этот факт широко используется при изучении различных сигналов и процессов.
В ходе работы были поставлены следующие задачи:
• Моделирование процесса с дискретным параметром
• Статистическая обработка полученных результатов
• Выявление возможности оценки кратности корней знаменателя спектральной плотности построенных моделей.
В ходе работы были исследованы методы оценивания параметров различных процессов, а также возможность идентификации кратных корней знаменателя спектральной плотности построенных моделей. Теоретический материал по данному вопросу представлен в главе 1, а результаты статистической обработки описаны в разделах 2.2 и 2.3.
Кроме того, были исследованы общие принципы моделирования, применимые к процессам из рассматриваемого класса. Способы моделирования случайных процессов с дробно-рациональными спектральными плотностями подробно изложены в книге [1]. В разделе 1.6 приведены некоторые изученные методы моделирования, которые подробно представлены в книге [2]. Данный теоретический материал был реализован на практике с помощью языка программирования R, широко используемого для статистического анализа, и полученные результаты приведены в разделе 2.1.
В ходе данной работы были исследованы стационарные случайные процессы с дробно-рациональной спектральной плотностью. Также были изучены некоторые методы их моделирования.
Следует отметить, что было проведено построение моделей для процесса с дискретным параметром, имеющим спектральную плотность с некратными корнями знаменателя, с корнями знаменателя второй и третьей кратности, а также с наличием «мешающего» воздействия.
Также было проведено исследование возможности идентификации и оценки кратности корней знаменателя спектральной плотности стационарных моделей в дискретном случае. В частности, был разработан и реализован метод, позволяющий получить необходимые оценки для построения эффективной модели. Полученный метод был исследован на разнообразных примерах, что позволило определить возможности и преимущества разработанного алгоритма.
По проведенному исследованию можно сделать вывод о том, что в классе стационарных процессов с дискретным параметром и с дробно-рациональной спектральной плотностью есть возможность не только оценить параметры процессов и построить соответствующую модель, но и определить наличие кратных корней в знаменателе спектральной плотности и установить порядок их кратности.
Таким образом, обладая рядом наблюдений некоторого процесса, можно выбрать наиболее удобный метод оценивания параметров и построить эффективную модель. Это позволяет более подробно изучать и исследовать различные свойства процесса, а также способствует проведению прогнозирования.
