ЭЛЛИПСОИДНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОГО ИНТЕРВАЛЬНОГО
АНАЛИЗА 7
1.1. Основы интервальной математики и её приложения 7
1.2. Математические задачи прикладного интервального анализа
данных 11
2. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА ПО
ЗАДАННОМУ ЧИСЛУ ТОЧЕК В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 16
2.1. Постановка задачи включения эллипсоидом заданных точек 16
2.2. Исследование задачи эллипсоидной аппроксимации в 3-х мерном
пространстве 17
2.3. Визуализация эллипсоидов с использованием систем
компьютерной математики 20
3. ЭЛЛИПСОИДНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ
ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ 25
3.1. Компьютерное моделирование. Задача анализа данных 25
3.2. Примеры эллипсоидной аппроксимации объединенного множества
решений и их сравнение с параметрами аппроксимации брусом 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 34
Купить

РЕФЕРАТ
Тема магистерской работы: «Эллипсоидная аппроксимация множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений».
Цель работы - разработка алгоритма и программной поддержки эллипсоидной аппроксимации объединенного множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).
Объект исследования - множество решений ИСЛАУ в прикладном интервальном анализе.
Предмет исследования - компьютерное моделирование задачи эллипсоидной аппроксимации объединённого множества решений, представленного совокупностью граничных точек.
В магистерской диссертации решены следующие задачи:
1. Проведен анализ методов построения эллипсоидных аппроксимаций множества точек.
2. Разработана программа компьютерного моделирования линейных процессов в среде Excel в предположениях прикладного интервального анализа данных.
3. Предложен способ получения таблицы граничных точек объединенного множества решений ИСЛАУ для эллипсоидной аппроксимации.
4. Проведено исследование эллипсоидной аппроксимации объединенного множества решений ИСЛАУ для процессов с различной размерностью.
Объем работы 36 страниц, количество рисунков - 14, 20
использованных источников литературы.
Ключевые слова: интервальная система линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ), система компьютерной математики (СКМ), задачи линейного программирования (ЗЛП).
Стандартной ситуацией, для многих реальных инженерных задач, является отсутствие точных знаний, об измеряемой или прогнозируемой характеристике, которую, однако, можно либо измерить с некоторой погрешностью, либо предсказать диапазон её изменения с достаточной надёжностью. То же самое касается не только исходных данных, но и их представления (например, представление иррациональных чисел при машинных вычислениях ограничено типом данных и используемой разрядностью). Подобные задачи - естественная область применения интервального анализа, рассматривающего как базовый объект для последующих операций интервальные множества неопределённости.
Прикладной интервальный анализ данных получил развитие при моделировании линейных процессов при наличии ошибок измерения всех переменных. Математической моделью анализа данных в этом случае является интервальная система линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ), в которой число уравнений значительно превышает число неизвестных переменных. В этом случае множество решений ИСЛАУ для реальных задач анализа данных представляет собой замкнутое и ограниченное множество в n-мерном пространстве. Для практического применения результатов анализа данных в литературе используется внешняя аппроксимация этого множества «брусом», т.е. гиперпрямоугольником, стороны которого параллельны осям координат.
В ряде приложений указанная аппроксимация решений ИСЛАУ является «грубой», не адекватной характеристикой этого множества. Ряд авторов указывают, что эллипсоидная аппроксимация решений ИСЛАУ является боле точной, однако в настоящее время в интервальном анализе возможности этой аппроксимации не исследованы.
Цель работы - разработка алгоритма и программной поддержки эллипсоидной аппроксимации объединенного множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).
4
Объект исследования - множество решений ИСЛАУ в прикладном интервальном анализе.
Предмет исследования - компьютерное моделирование задачи эллипсоидной аппроксимации объединённого множества решений, представленного совокупностью граничных точек.
В магистерской диссертации решены следующие задачи:
1. Проведен анализ методов построения эллипсоидных аппроксимаций множества точек.
2. Разработана программа компьютерного моделирования линейных процессов в среде Excel в предположениях прикладного интервального анализа данных.
3. Предложен способ получения таблицы граничных точек объединенного множества решений ИСЛАУ для эллипсоидной аппроксимации.
4. Проведено исследование эллипсоидной аппроксимации объединенного множества решений ИСЛАУ для процессов с различной размерностью.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка.
В первой главе рассматривается теория интервальной математики и её приложений. В качестве приложений мы рассматриваем прикладной интервальный анализ экспериментальных данных.
Во второй главе описана компьютерная модель, разработанная в среде Excel для исследования множеств решений ИСЛАУ. Реализована визуализация эллипсоидов с использованием систем компьютерной математики.
В третьей главе рассмотрены численные методы внешней эллипсоидной аппроксимации многоугольников n-мерного пространства, заданного своими вершинами. Проведен сравнительный анализ эллипсоидной и брусовой аппроксимации решений ИСЛАУ.
Объем работы 36 страниц, количество рисунков 14, использованных источников литературы 20.

Купить