Введение 5
1 Теоретическая часть 7
1.1 Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция) 7
1.2 Эйлеров интеграл второго рода (гамма-функция) 10
2 Примеры вычисления интегралов с помощью интегралов Эйлера 17
Заключение 19
Список использованных источников 20
В отличие от дифференцирования, интегрирование – это действие, не всегда позволяющее найти элементарную функцию, являющуюся первообразной от заданной функции. В некоторых случаях первообразная от заданной элементарной функции не выражается никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. О таких функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В большинстве случаев, для вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, представляющие собой особый класс функций, которые представляются в виде собственного либо несобственного интеграла, зависящего не только от переменной, но и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые бета и гамма функции Эйлера.
Во многих формулах математического анализа фигурирует впервые введенная Леонардом Эйлером в 1729 г. функция «гамма» [1]. Значимость этой функции заключается в том, что она является одной из наиболее важных трансцендентных функций, распространяющей понятие факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента. Через гамма-функцию выражается множество определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Она играет значимую роль в теории специальных функций - цилиндрических, гипергеометрических и других. Гамма-функция и ее свойства используются в аналитической теории чисел.
Благодаря её введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов. В случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, ее получение всё же часто облегчает использование гамма - функции, хотя бы при промежуточных преобразованиях.
Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.
Целью курсовой работы является изучение интегралов Эйлера и актуальности практического применения данных интегралов.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1) рассмотреть бета-функцию Эйлера и дать ее определение;
2) найти область определения бета-функции;
3) проверить на сходимость бета-функцию;
4) рассмотреть гамма-функцию Эйлера и дать ее определение;
5) найти область определения гамма-функции;
6) исследовать гамма-функцию и построить ее график.
7) исследовать применение интегралов Эйлера.
Объект исследования: применение интегралов Эйлера для упрощения вычислений.
Предмет исследования: интегралы Эйлера.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.
Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением. Гамма-функция тесно связаны с бета-функцией. Обе эти функции определяют эйлеровы интегралы первого и второго рода, введённые великим математиком, астрономом и физиком Л. Эйлером (1707–1783гг.). Ему принадлежат важнейшие работы по математическому анализу. Живя в России, он оказал большое влияние на развитие отечественной математике.
Гамма и бета функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.
Для гамма-функции составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями.
Определенные интегралы различных типов могут быть выражены через гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов. Благодаря этому интегралы Эйлера широко применяются в математике и ее приложениях, таких как теория вероятности, а также в механике, термодинамике и других отраслях современной науки.
