ВВЕДЕНИЕ 3
1. Теоретическая часть. Методы доказательства неравенств 6
1.1 Доказательство неравенств с помощью определения 7
1.2 Доказательство неравенств методом «от противного» 8
1.3 Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации. 9
1.4 Метод оценивания. 11
1.5 Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных и очевидных неравенств 12
1.6 Метод математической индукции…………………………………………..15
2. Практическая часть 16
Заключение
Список использованных источников
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятиями равенство возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства поль¬зовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.
Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического.
В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал общеупотребительным лишь в ХVIII веке после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая (в «Практике аналитического искусства», вышедшей в 1631 г. посмертно) нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (<). В первом случае образованный знак не¬равенства будет обозначать «больше», во втором - «меньше».
Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.
Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге (1698-1758).
Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Введение в программу профильного обучения этой темы очень важно. Задачи этой темы решаются алгебраическим способом, который является одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого мышления. С помощью специально подобранных задач, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения. Задачи на доказательство неравенств часто решаются несколькими способами. Это дает возможность обратить внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными.
Доказательства неравенств дает возможность реализовать в процессе изучения темы такие задачи: формирование у учащихся навыка осмысления и применение приемов доказательство неравенств; умение применять приемы доказательств при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.
Цель курсовой работы: знакомство с основными методами доказательства неравенств.
Задачи курсовой работы:
Рассмотрение основных методов доказательства неравенств;
Решить задачи на доказательство неравенств различными методами
Объект нашего исследования: алгебраические и трансцендентные неравенства.
Предмет исследования: методы доказательства алгебраических и трансцендентных неравенств.
Подводя итоги этой работы, можно сделать следующие выводы:
1. При доказательстве неравенств развиваются организационные навыки и логическое мышление, при выборе правильного метода доказательства повышаются творческие и умственные способности.
2. В данной работе представлен наиболее удобный способ доказательства каждого типа неравенства. Трудности могут возникнуть при решении задач с одним или двумя неравенствами, так как необходимо правильно определить метод доказательства.
Цель поставленная в начале работы достигнута
Были выполнены следующие задачи курсовой работы:
- Рассмотрение основных методов доказательства неравенств;
- Решение задач на доказательство неравенств различными методами
