Введение 3
Глава 1. Суммирование расходящихся рядов 6
1.1 Метод степенных рядов 6
1.2 Теорема Таубера 9
1.3 Метод средних арифметических 12
1.4 Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 15
Глава 2. Обвертывающие и асимптотические ряды 18
2.1 Определения и примеры 18
2.2 Основные свойства асимптотических разложений 25
2.3 Формула Эйлера—Маклорена 30
2.4 Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 41
2.5 Формула и ряд Стирлинга 45
Заключение 48
Список использованной литературы 49
Приложение
Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули во второй половине XIX века вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно, отличном от обычного. Некоторые методы такого «суммирования» оказались особенно плодотворными; ими мы займемся подробнее.
Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике. Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее, иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл. Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение «обобщенной суммы» ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому классу таких рядов. Законность этого не может вызвать сомнения: надо помнить, что даже обычное понятие «суммы ряда», сколь простым и естественным оно ни кажется, тоже было введено на основе условно принятого определения, оправдываемого лишь целесообразностью! Определение «обобщенной суммы» обычно подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду ^ап приписывается «обобщенная сумма» А, а рядууЬп- «обобщенная сумма» В, то ряд ^рап+ qbn, где р, q - две произвольные постоянные, должен иметь в качестве «обобщенной суммы» число pA + qB.Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.
Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь «обобщенную сумму», и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать «сумму» в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об «обобщенном суммировании».
Цель выпускной квалификационной работы - изучить теорию, раскрывающие понятия обвертывающие и асимптотические ряды.
Основные задачи исследования:
1. Ввести понятие суммирование расходящихся рядов, а также понятия обвертывающие и асимптотические ряды.
2. Изучить методы суммирования расходящихся рядов и вывод формулы Эйлера—Маклорена.
Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.
В данной выпускной квалификационной работе были рассмотрены обвертывающие и асимптотические ряды. Работа состоит из двух глав. В первой главе были введены основные понятия, их краткое историческое развитие и рассмотрены несколько методов суммирования расходящихся рядов, а именно, метод степенных рядов и метод средних арифметических.
Во второй главе рассмотрены определения, примеры и основные свойства асимптотических разложений. Так же дан вывод формулы Эйлера—Маклорена, разобраны примеры на применение данной формулы.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
