Введение 3
Глава I. Поверхности в евклидовом пространстве 5
§1. Понятие поверхности 5
§2. Касательная плоскость и нормаль 8
§3. Нормальная кривизна. Вторая квадратичная форма поверхности 12
Глава II. Минимальные поверхности 15
§4. Поверхность наименьшей площади 15
§5. Присоединенная поверхность 16
§6. Формулы Шварца 17
§7. Сферическое отображение и изгибание минимальных поверхностей 19
§ 8. Формулы Вейерштрасса 21
Глава III. Примеры минимальных поверхностей. Решение задач 25
§9. Частные виды поверхности вращения. Катеноид 25
§10. Винтовые поверхности. Геликоид 29
Заключение 38
Библиографический список 39
Теория минимальных поверхностей интенсивно развивалась в течение всего последнего столетия и продолжает развиваться в различных направлениях в настоящее время. Важнейшие результаты этой теории стали классическими и широко известными благодаря работам таких ученых: С.Н Альмгрен, А.В. Погорелов, Г. Федерер, Р. Финн, У. Флеминг, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю.А. Аминов, Э. Бомбьери и т. д.
Необходимо отметить, что успехи в развитии теории минимальных поверхностей в значительной мере обусловлены тесной взаимосвязью между геометрическим строением и функциональными свойствами этих поверхностей. В частности, ключевую роль во многих исследованиях играет тот факт, что сужение координатной функции на минимальную поверхность является гармонической функцией в ее метрике. В случае двумерных минимальных поверхностей известно их полное описание в терминах голоморфных функций (представление Вейерштрасса).
Проблема исследования - изучение минимальных поверхностей методами дифференциальной геометрии, а также освоение способов их конструирования и визуализации в среде Mathematica.
Объект исследования: поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве.
Предмет исследования: минимальные поверхности.
Цель дипломной работы: описание асимптотического поведения функций минимальных поверхностей и рассмотрение конкретных задач.
Задачи:
1) Изучить научную, учебно-методическую литературу по теме
исследования.
2) Разобраться в теории минимальных поверхностей, проделав
недостающие в научных монографиях выкладки и вычисления.
3) Освоить способы конструирования алгебраических минимальных поверхностей и их визуализации.
4) Рассмотреть конкретные примеры минимальных поверхностей.
Структура и объем работы: ВКР содержит введение, три главы, включающие в себя десять параграфов, заключение, библиографический список. Текст изложен на 40 страницах. Список литературы содержит 25 наименований.
В дипломной работе изложены следующие результаты:
В I главе рассмотрено и изучено общее понятие поверхности в евклидовом пространстве, во I I главе - теория минимальных поверхностей, I I I глава содержит практическое направление, в ней рассмотрены конкретные примеры минимальных поверхностей, а также приведены задачи на отыскание минимальных поверхностей и их доказательство, рассмотрены три примера алгебраических минимальных поверхностей, а также их визуализация в среде Mathematica.
В данном дипломном проекте выполнена задача разбора в теории минимальных поверхностей путем недостающих вычислений в научных монографиях, что приводит к рассмотрению конкретных примеров минимальных поверхностей. В свою очередь, это достигнуто через освоение способов конструирования алгебраических минимальных поверхностей и их визуализации в среде Mathematica.
