Введение 3
Однопараметрические группы преобразований 4
О группах преобразований одного уравнения третьего порядка ... 9
Заключение 21
Список литературы
Как известно, обыкновенное дифференциальное уравнение n-ro порядка, допускающее n-мерную разрешимую алгебру Ли, может быть проинтегрировано в квадратурах. Кроме того, знание хотя симметрий (допускаемых операторов) позволяет понижать порядок уравнений. В связи с этим представляется актуальной задача выяснить, какие операторы может допускать заданное уравнение порядка 2, 3 и выше.
В данной выпускной квалификационной работе мы рассматриваем уравнение ут = (у"}п F(Х, у, у') где n — произвольный параметр, введенное в работе [1]. Для этого уравнения мы выясняем, какие операторы оно может допускать при различных значениях n. Выяснилось, что при n = 0,1, 2,3 оно может допускать максимум 5-мерную алгебру Ли операторов.
Случаи n = 0,1, 2,3 оказываются сложнее. Для n = 3 алгебра может иметь размерность максимум 9. В случае n = 2 нам приходится дополнительно требовать, чтобы функция F не зависела от у0. Кроме того, мы приводим примеры таких уравнений.
В дипломной работе решены следующие задачи:
1. Показано, что при n = 0,1,2,3 уравнение у000 = (у")п• F(x, y, у0) может допускать только операторы вида (c1 + c2 x) @Х + (c3 + c4 x + c5 y) @y.
2. Показано, какие операторы оно может допускать при n = 3.
3. В предположении, что функция F не зависит от у0, показано, какие операторы оно может допускать при n = 2.
4. Приведены примеры таких уравнений и допускаемых ими алгебр Ли.
