Введение 2
1 Точные оценки констант Харди для областей с регулярной
граничной точкой. 5
1.1 Предварительные результаты 5
1.2 S-регулярные граничные точки 11
1.3 Точные нижние оценки константы Харди 14
2 Конкретные примеры точек двусторонне достижимых шарами и S-регулярных. 20
2.1 Пример точки, которая будет и S-регулярной и двусторонне
достижимой шарами 20
2.2 Пример точки, которая является S-регулярной, но не является двусторонне достижимой шарами 26
2.3 Пример точки, которая не является ни S-регулярной, ни двусторонне достижимой шарами 30
В данной работе исследуются константы в неравенствах типа Харди. Неравенства данного типа широко применяются в различных областях математики и математической физики. Неравенства Харди мы можем встретить в работах: С. Л. Соболева [5], Ф. Г. Авхадиева [1], А. Лаптева и Т. Вейдла [14], Р. Г. Насибуллина [4] и других математиков (см., например, [3], [6]). Более подробно с применением неравенств типа Харди можно ознакомиться в работах [9], [10], [11], [13]
Отметим, что рассматриваемые неравенства в одномерном случае связывают функцию с её производной, а в многомерном — функцию с её модулем градиента.
Теория интегральных неравенств имеет давнюю историю. Приведём основное неравенство такого рода для абсолютно непрерывной функции одной переменной f : [0,1] —! R такой что f (0) = 0,f0 2 L2(0,1), которое было получено и опубликовано Г. Харди в 1920 году [7]:
00 ОС
1 f2 1
—zdx < 4 f/<2dx. (1)
J x2 J
0 0
Константа в данном неравенстве точная и не может быть заменена меньшим числом.
На сегодняшний день с особенной внимательностью рассматриваются неравенства в многомерном случае. В них значение постоянной может меняться в зависимости от вида области:
Г I fl2 Г ,п . .
fdx < cn(ty Vf2dx,8 2 ChQ).
J o2 J
Q Q
Областью интегрирования в данном неравенстве будет произвольная от-крытая областв из Rn, при этом Q = Rn,0 = 0(x, Q) = dist(x, dQ) — расстояние от некоторой точки х 2 Q до грани цы д Q, V f — градиент функции f.
В данной выпускной работе приведены примерах, когда точка у 2 д0 может S-регулярной и двусторонне достижимой одновременно и случай, когда точка у 2 д0 только S-регулярная.
