1 Введение 2
2 Описание метода Литтлвуда-Рогозинского и его обобщения 6
2.1 Неравенство Литтлвуда 6
2.2 Методы сравнения коэффициентов 9
2.3 Обобщение методов в случае квазиподчиненности 12
2.4 Оценки в классе выпуклых функций 14
3 Новые результаты по оценкам коэффициентов 17
3.1 Мажорация коэффициентов функций класса S (|) 17
3.2 Оценки в классе S(3) 24
3.3 Общий случай с константой c > 1 31
4 Заключение 39
Литература
Взаимосвязь геометрии и анализа, является наиболее увлекательным аспектом теории функций комплектного переменного. Теория однолистных функций связана прежде всего с отношением между аналитической структурой и геометрическим поведением.
Функция называется однолистной, если она никогда не принимает одно и то же значение дважды: фЦЦ = фЦ2), если z1 = z2. В данной работе основное внимание будет уделено классу S - классу функций, аналитических и однолистных в единичном круге D = fz : z 2 C; z < 1g. Это класс всех однолистных функций ф(я), нормированных условиями ф(0) = 0, ф'(0) = 1. Мы сосредоточимся на проблемах коэффициентов для класса S и для связанных классов.
Эта работа посвящена оценке коэффициентов некоторых классов функций. Всё исследование опирается на известные результаты в этой области. Существенным является результат, полученный в параграфе 3.3, в котором обобщаются результаты на случай с константой c > 1.
Вводная часть работы освещает известные результаты в области подчиненности функций и мажорирования. Вводятся определения подчиненности и квазиподчиненности. Рассматриваются два примера, предваряющие содержательную исследовательскую часть этой работы. Кроме того, сообщаются наиболее важные исторические результаты по теме исследования.
Как уже было сказано выше, наиболее важным является результат, полученный в параграфе 3.3 (теорема 10), которая обобщает результаты для класса S(c), для которого c > 1. В этом параграфе получена точная оценка коэффициентов таких функций.
