В 1847 г. [1] и 1880 г. [2] Стокс предложил два аналитических метода расчета формы устойчивых, безвихревых волн конечной амплитуды и конечной глубины. Первый метод (1847) представляет собой разложение комплексного потенциала скорости w= ф -it.'как функцию пространственной комплексной координаты z = x+ iyпо степеням малого параметра возмущения а, отвечающего за крутизну волны.
Позже Стокс заметил, что расчеты будут упрощены выражением z как функции w. Это второй метод Стокса, где комплексный потенциал w принимается в качестве независимой переменной. Применение метода требует определения коэффициентов Стокса, которые являются коэффициентами Фурье для функции z (w).
В литературе есть немало работ, посвященных этой теме. Стокс в 1880 году вычисляет решение до O(b3) для конечной глубины и до O(b3) для частного случая бесконечной глубины, где b- первый коэффициент Фурье в разложении z (w).
Вилтон (1914) провел расчеты для бесконечной глубины до O(b10), но, как заметил Шварц в 1974, разложения Вилтона имеют ошибки, начиная с восьмого порядка. Де (1955) [3] опубликовал решение пятого порядка для конечной глубины. Стоит отметить также работу Фентона (1985), хотя он использует первый метод Стокса, а не второй. Фентон разработал теорию пятого порядка для волн конечной глубины.
Работы Вилтона (1914), Де (1955) и Фентона (1985) определяют решения, являющиеся практически пределом ручных вычислений. Первый компьютерный алгоритм был разработан Шварцом в 1974. Как и в Стокс (1880), Шварц использует граничное условие постоянного давления на свободной поверхности и полученные кубические системы уравнений для коэффициентов Стокса. Позже алгоритм позволил Шварцу найти коэффициенты последовательно. Сначала он использовал первый коэффициент Стокса b как параметр возмущения и продемонстрировал, что при заданных значениях b решение не всегда является единственным. Он также показал, что этот недостаток исчезает, если заменить b безразмерной амплитудой волны а. Вычисления для конечной глубины были осуществлены Шварцом до O(b70) И О(а48). Для частного случая бесконечной глубины, решение было найдено до О(а107). В этом конкретном случае Шварц представил также явные аналитические разложения коэффициентов Стокса доО(а9). В этих разложениях, коэффициенты являются рациональными числами, которые были получены путем поиска повторяющихся десятичных знаков после запятой.
Кокелет (1977) применил алгоритм Шварца с другим параметром возмущения, предложенным Лонге-Хиггинсом (1975) [4], а также провел обширную таблицу волновых свойств для разных соотношений глубины и длины волны. Высший порядок параметра возмущения был ПО.
Сравнительно недавно, Далластон & Маккью (2010), используя современный компьютер и точную арифметику, которая устраняет любую потерю точности из-за накопления ошибок округления, воспроизводят решения Шварца и Кокелет для случая бесконечной глубины до порядка параметра возмущения, равного 300.
