Введение 3
§1. Обзор исходных результатов по классической теории задачи Гурса... 5
1.1. Постановка задачи 5
1.2. Варианты определения функции Римана в виде явной функции 5
§2. Вариант решения задача Гурса для уравнения Бианки
четвертого порядка 7
§3. Полная факторизация рассматриваемого уравнения 11
Заключение 27
Список литературы 28
Приложение
Данный вопрос принадлежит к дифференциальным уравнениям с преобладающей частной производной, всевозможные проблемы которой исследуются большим количеством математиков.
Родоначальником данной теории значится итальянский математик Л. Бианки, который предложил [1] ещё в 1895 г. версию распределения метода решения задачи Коши, выявленного в свое время Б. Риманом для
uXy+ ошх + Лу + yu = f (x,y), (1)
на уравнение вида
Ut1,t2,...,tn + Mu= f (t); (2)
где M- линейный дифференциальный оператор, который содержит всего лишь производные первичной функции, определенные в первом слагаемом игнорированием как минимум одного дифференцирования.
Понятно, что (2) является сочетанием уравнения (1) для n-мерного пространства. Через 50 лет результат Л.Бианки был снова открыт Е.Лаэ [2] (Бельгия), а в 1956-1958 г.г. появились статья М.К.Фаге [3]-[4].
В указанных работах идет речь об обобщении результата Римана. Но затем были обнаружены разные практические нюансы рассматриваемых уравнений, а также определенных из (2) путем смены первого слагаемого на mn— mi, в котором хотя бы одно @tn ...@ti
mk> 1. А именно, частные случаи указанных уравнений появляются при математическом моделировании процессов вибрации и играют огромную роль в теории отображений, теории аппроксимации, к ним приводится задача интегрального определения смены одного (-их) линейного (-ых) дифференциального (-ых) оператора (-ов) в другое (-ие). Уравнения можно встретить в теории упругости, изучая передачи тепла в гетерогенных средах, фильтрации жидкости в трещиноватых породах, моделировании биологических процессов и тому подобное.(См. библиографические ссылки в статье [5]).
Существенные достижения теории указанных уравнений представлены в монографиях [6]-[7].
Представленная работа имеет две части.
Первая часть (§.1) является рефератом по методам исследования задачи Гурса для уравнения (1): методу Римана, в который входит семь условий всевозможных вариантов определения решения в явном виде(в квадратурах). Материал является первоначальной базой для самостоятельного изучения автора. Это исследование было начато в бакалаврской работе [8], где речь шла об уравнении (2) при n= 4 и был изучен случай, когда указанное уравнение могло быть представлено в форме
(ci + b1-@+ a1-@+)(cu+ but + auz + uzt) = 0,
oy ox oxoy
Были найдены варианты условий на коэффициенты представленного уравнения, которые обеспечивают вероятность представления (3) и затем использовать указанные семь условий разрешимости в квадратурах. Было выделено 49 вариантов разрешимости задачи в квадратурах. Все это изложено в (§.2).
Настоящая работа является продолжением исследования, проведенного в [8]: рассматриваются другие варианты комбинаций операторов второго порядка (дополнительные к использованным в представлении (3)). Целью являются наиболее полное описание результатов изучения задачи Гурса для рассматриваемого уравнения, какое только можно получить с помощью используемого метода.
Изучен случай, когда операторы второго порядка в левой части (3) меняются местами, то есть добавляется еще один вариант к содержанию бакалаврской работы. Затем рассматриваются иные комбинации (всего к бакалаврской работе добавляется пять вариантов). При этом для каждого набора условий разрешимости задачи в квадратурах получается два варианта самой разрешимости: общее количество вариантов разрешимости рассматриваемой задачи в квадратурах и количество обеспечивающих эти варианты наборов условий на коэффициенты изучаемого уравнения равно соответственной 294 и 147.
Весь указанный новый метод изложен в (§.3).
Получены следующие результаты:
1. Исследован метод полной факторизации рассматриваемой четырехмерной задачи Гурса, который позволяет свести ее к шести случаям классической задачи Гурса (с двумя независимыми переменными).
2. Каждая из этих шести полученных задач адаптирована к форме, которая дает возможность использования метода формирования решения в квадратурах, представленного в первой части работы (§.1).
3. Выражены в определениях условий на коэффициенты указанного уравнения 294 варианта представления решения исследуемой задачи в квадратурах.
