Введение…………………………………………………………………….3
Глава 1. Решетки на плоскости и в пространстве ………………………5
§ 1.1. Понятие решетки. Узлы………………………………………..……5
Свойства решетки на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………..…..7
§ 1.2. Области Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………….. 9
18 Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………….12
Глава 2. Многоугольники на решетках…………………………………..14
§ 2.1. Треугольник и квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………. 14
§ 2.2. Правильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………….... 17
§ 2.3. Элементарные параллелограммы. . . . . . . . . . . . . . . . ……………. 21
§ 2.4. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………….. 23
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………….25
Глава 3. Две знаменитые формулы…………………………………….. 27
§ 3.1. Формула Пика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………………..27
§ 3.2. Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………….. 29
Заключение………………………………………………………………..33
Список литературы………………………………………………………..35

Купить

В 7 классе начинается изучение геометрии. Школьный курс предполагает разбор площадей многоугольников с 8 класса, хотя с площадями прямоугольника, квадрата и круга мы знакомы ещё с начальной школы. Особое внимание обращается на вычисление площадей четырёхугольников, треугольников, так как в дальнейшем всем учащимся надо сдавать Основной государственный и Единый Государственный экзамены по математике, где есть задания для определения площади многоугольника на клетчатой бумаге.
Решетка на плоскости является мощным средством, которое позволяет задачи алгебры, анализа, теории чисел переводить на геометрический язык.
Историю данного вопроса можно начать с попытки Дж. Буля в первой половине XIX века формализовать логику, которая привела к понятию булевой алгебры. Исследуя аксиоматику булевых алгебр в конце XIX века, Ч. Пирс и Э. Шредер ввели понятие решетки. Однако результаты этих математиков не привлекли внимание общественности.
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.Уже эта простая решетка послужила К. Гауссу отправной точкой для сравнения площади круга с числом точек с целыми координатами, находящихся внутри него. То, что некоторые простые геометрические утверждения о фигурах на плоскости имеют глубокие следствия в арифметических исследованиях, было в явном виде замечено Г. Минковским в 1896 г., когда он впервые для рассмотрения теоретико-числовых проблем привлек геометрические методы. Основное содержание книги сконцентрировано около вопросов, находящихся на границе геометрии и арифметики.
Дальнейшее развитие теория решеток получила лишь в середине 30-х гг. ХХ века в работах Г. Биркгофа. Он показал, что решетка является каркасом для разрозненных достижений во многих математических дисциплинах. Развитие теории решеток связано также и с работами отечественных математиков Г.Ф. Вороного, Б.Н. Делоне и др. В настоящее время теории решеток посвящены целый ряд работ, некоторые из них, изложены в популярной форме и доступны даже учащимся средней школы.
Многие из задач, связанных с данной темой, встречались на различного рода школьных и студенческих математических соревнованиях, так же задания на вычисление площадей фигур, расположенных на клетчатой бумаге, в последние несколько лет включены в содержание контрольно-измерительных материалов ЕГЭ. Решетка на плоскости является мощным средством, которое позволяет переводить аналитические задачи на геометрический язык и обратно.
Целью данной курсовой работы является: обобщение научных знаний по теме «Многоугольники на решётке».
Основными задачами при выполнении работы являются:
Ознакомиться с информацией по теме исследования в интернет-источниках и печатных изданиях.
Выбрать главную и понятную информацию.
Систематизировать знания, находящиеся на границе арифметики и геометрии обосновать формулу Пика для правильных многоугольников
Показать практическое применение формулы Пика.

Купить