Введение 2
§1. Необходимые сведения о неразложимых матрицах и их графах . . . . 3
§2. Экспонент примитивной матрицы 6
§3. Неравенство типа Виландта для комплексных матриц 12
§4. Матрицы с отделимым модулем 26
Заключение 28
Литература
Данная выпускная квалификационная работа посвящена применению теории неотрицательных матриц в теории комплексных матриц. Теория неотрицательных матриц возникла в первой трети 20 века в трудах О. Перрона, Г. Фробениуса, В.И. Романовского. В этой теории важное значение имеют комбинаторные свойства матриц, то есть расположение ненулевых элементов в матрицах. Комбинаторная структура отображается в виде графа матрицы. Комбинаторные свойства неразложимости и примитивности неотрицательных матриц существенно влияют на их спектральные свойства. Это влияние характерно именно для неотрицательных матриц и мало исследовано для комплексных матриц.
В данной работе применение теории неотрицательных матриц к комплексным матрицам основано на том, что всякой комплексной матрице A естественно сопоставляется матрица |A|, составленная из модулей элементов Aи называется модулем, матрицы A. Связь между степенями матрицы A и степенями её модуля выражается неравенством |Ak| <|A|k, которое нужно понимать поэлементно. Для некоторых матриц имеет место равенство .4| = Akдля любого натурального показателя к. О матрицах этого типа мы говорим, что они имеют отделимый модуль.
Вопрос о том, имеет ли данная матрица отделимый модуль представляет значительный интерес, поскольку вычисление степеней комплексных матриц - неотъемлемая часть прикладной линейной алгебры. В дипломной работе доказывается верхняя граница у (A) для показателей степени комплексной матрицы A со следующим свойством: если у (A) = к и | Ak| = | A |к, то последнее матричное равенство имеет место для любого показателя к. Основным результатом данной работы является доказательство того, что в качестве верхней границы можно взять известное число Виландта из теории неотрицательных матриц. Это число равно n2— 2n + 2, где n- порядок матрицы. Виландт доказал, что если для неотрицательной матрицы Aсуществует показатель к, для которого матрица Akположительна, то этот показатель не больше, чем n2— 2n + 2. Более того, он доказал, что указанная им верхняя граница не может быть уменьшена. Аналогичные результаты получены в работе для показателя 7 (A).
Таким образом, в работе описывается неочевидная связь между теорией неотрицательных матриц и теорией комплексных матриц. Выпускная работа использует результаты из статьи [1], однако содержит все необходимые подготовительные результаты, а так же доказательства, снабженные графическими иллюстрациями и числовыми примерами. Нужно отметить, кроме того, что примеры, доказывающие точность оценки показателя 7(A), принципиально отличаются от примеров, приведенных в статье [1].
Материал работы изложен в следующем порядке. В §1 определяется граф матрицы и описываются неразложимые матрицы - основной объект работы. В §2 доказывается описанный выше результат Виландта, причем доказательство основано на оригинальной идее Виландта [2] и отличается от доказательств приведенных в [3,4]. Здесь же вводится показатель 7(A) для комплексных матриц. Центральным в работе является §3, в котором доказывается неравенство 7(A)
В данной работе было рассмотрено применение теории неотрицательных матриц к комплексным матрицам. Каждой комплексной матрице А сопоставляется матрица |А|, которая составлена из модулей элементов матрицы А и называется её модулем. Модуль комплексной матрицы - неотрицательная матрица. В работе применяется теория неотрицательных матриц Перрона- Фробениуса-Романовского и Виландта.
Связь между степенями комплексной матрицы и её модуля выражается следующим неравенством: |Ак| < |А|к. Матрицы, для которых выполняется равенство | Ак| = Ак, называются матрицами с отделимым модулем. В работе вводится следующее определение показателя у (А) для степеней комплексных матриц: если существует такой показатель к, что выполняется | Ак | < | А |к, то наименьший из таких показателей обозначим через у (А).
Основной результат данной работы заключается в том, что оценка у (А) не больше, чем известное из теории матриц число Виландта n2— 2n + 2. В работе доказано, что данная оценка не может быть уменьшена.
Так же в работе изучен класс матриц с отделимым модулем. Эти матрицы характерны тем, что для них всегда выполняется равенство | Ак | = | А |к. Доказано, что если матрицу А можно представить в виде А = £D~1PD,где P - неотрицательная неразложимая матрица, D- диагональная унитарная матрица, а " - комплексное число равное по модулю единице, то она имеет отделимый модуль.
Работа сопровождается примерами матриц и графов, иллюстрирующими определения и основные утверждения.
