Структура аффинного многообразия на топологическом многообразии задается атласом с преобразованиями координат, принадлежащими псевдогруппе аффинных преобразований пространства Rn. Среди замкнутых двумерных многообразий [4] структуры аффинных многообразий имеются только на торе и бутылке Клейна [7]. Классификация всех аффинных структур на двумерном торе получена в работе [8].
Целью настоящей выпускной работы является изучение с использованием системы компьютерной алгебры Mathematica некоторых свойств геометрий, возникающих на двумерных торах, снабженных аффинной структурой Смилли [7].
Тор с аффинной структурой Смилли получается склеиванием противоположных сторон произвольного четырехугольника, заданного на евклидовой плоскости, с помощью преобразований подобия. Все четыре вершины четырехугольника склеиваются в одну точку, а четыре угла четырехугольника при склейке образуют полный угол, и в результате окрестность ука¬занной точки оказывается эквивалентной области евклидовой плоскости.
Два преобразования подобия Pи Q,участвующие в определении аффинной структуры Смилли имеют общий центр и коммутируют. Каждое из них можно включить в однопараметрическую группу подобных преобразований евклидовой плоскости, что позволяет включить торы Смилли в классификацию, полученную в работе [8].
Некоторые аспекты геометрии и топологии двумерных торов рассматривались в работах [5], [1], [3].
Одним из методов изучения аффинного многообразия Mявляется переход к универсальному накрывающему пространству M и построение развертывающего отображения D: M !Rn. На Mиндуцируется структура аффинного многообразия и проекция p : M ! Mявляется локальным изоморфизмом аффинных многообразий. Для тора Смилли многообразие M представляет собой универсальное накрывающее пространство плоскости без одной точки. При рассмотрении этого многообразия удобно использовать систему координат, порождаемую полярной системой координат (р, ') на плоскости. При этом на накрывающем пространстве угол ' изменяется в пределах (—1,1).
Во втором параграфе работы приводятся определения псевдогруппы G преобразований топологического многообразия X и псевдогрупповой структуры на многообразии. Если псевдогруппа преобразований Gпорождается группой преобразований Gмногообразия X, то многообразие с такой псевдогрупповой структурой называется и (G,X)-многообразием. Если G — группа аффинных движений пространства Rn, то (G,X)-многообразие называется аффинным многообразием.
В третьем параграфе рассматриваются понятия фундаментальной группы, накрывающего пространства и универсального накрывающего пространства для топологических многообразий и G-многообразий.
В четвертом параграфе определяются развертывающее отображение аффинного многообразия и представление голономии.
В последнем параграфе работы с помощью программы Mathematica изучаются некоторые частные случаи структур Смилли, определяемые раз-личными типами подобий. Для них построены развертывающие отображения, траектории содержащих их однопараметрических групп подобий. Построены диффеоморфизмы торов Смилли на тор вращения в евклидовом пространстве, позволяющие изучать поведение прямых линий и кривых второго порядка на торах Смилли. Указанные диффеоморфизмы реализованы с помощью пакета Wolfram Mathematica.
