Введение 2
1 Плоскость Лобачевского 4
1.1 Суть пространства Лобачевского 4
1.2 Модель Бельтрами-Клейна плоскости Лобачевского 6
1.3 Основные формулы для модели Бельтрами-Клейна 7
2 Фракталы на плоскости: системы итерированных функций 9
2.1 Системы итерированных функций 9
2.2 Реализация СИФ: рандомизированный алгоритм 10
3 Фракталы на плоскости Лобачевского 16
3.1 Фракталы на плоскости Лобачевского как образы фракталов в R2. . . 16
3.2 Система итерированных функций на плоскости Лобачевского 18
3.3 Аналог треугольника Серпинского на плоскости Лобачевского 19
Заключение 27
4 Приложение 28
4.1 Размерность Хаусдорфа в метрическом пространстве 28
Список литературы 31
Купить

В современной математике важную роль играет понятие «Фрактал». Часто под фракталами понимаются геометрические фигуры, похожие на свои части. Фракталы помогают изучать природные объекты такие, как деревья, листья, кристаллы, клетки организма и т.д.
В 1975 году Бенуа Мандельбротом ввел термин фрактал впервые и положил начало новой области математики — фрактальной геометрии. Сам термин фрактал произведен от латинского глагола frangere — ломать и прилагательного fractus — дробный. Многие математические идеи оформились задолго до этого, еще в XIX-м веке, в работах Георга Кантора, Карла Вейерштрасса, Джузеппе Пеано и других. В 1919 году в работе Феликса Хаусдорфа появилось понятие фрактальной (дробной) размерности. Тем не менее, именно Мандельброт объединил эти идеи и положил начало систематическому изучению фракталов и их приложений.
В настоящий момент имеется много книг, посвященных фракталам. Среди них можно выделить [1], [2]-[5]. На русском языке издана книга Р. М. Кроновера [1]. Имеется также много статей, где строятся и исследуются фракталы в евклидовом пространстве.
Вместе с тем, примерами известных фракталов является: ковер Серпинского, снежинка Коха, губка Менгера, пыль Кантора, дракон Хартера-Хайтвея, кривая Гильберта, кривая Госпера и т.д.
Фракталы строились не только в евклидовом пространстве, а также на комплексной плоскости [1], [ЗН5], на теле кватернионов [5], на двойных числах [2].
Мы предлагаем рассмотреть построение фракталов на плоскости Лобачевского.
Цель работы: Изучение систем итерированных функций, геометрии Лобачевского, и перенос фракталов на плоскость Лобачевского.
Задачи работы:
• изучить теоретические основы построения фракталов при помощи систем итерированных функций и алгоритмы построения аттракторов систем итерированных функций;
• изучить теоретические основы геометрии Лобачевского, наиболее известные модели этой геометрии, особенно модель Бельтрами-Клейна плоскости Лобачевского;
• предложить и обосновать способ построения фракталов на плоскости Лобачевского при помощи системы итерированных функций. Проанализировать получающиеся результаты.
Насколько нам известно, до сих пор фракталы на плоскости Лобачевского не построены.
Опишем вкратце содержание работы:
• В первой главе напоминаются основные идеи и формулы пространства Лобачевского.
В § 1 напоминаются основные понятия пространства Лобачевского.
В § 2 дается краткий обзор модели Бельтрами-Клейна пространства Лобачевского.
В § 3 излагаются основные формулы модели Бельтрами-Клейна.
• Во второй главе излагается построение фракталов в евклидовым пространстве.
В § 1 напоминается понятие системы итерированных функций и содержатся основные определения и теоремы из теории систем итерированных функций.
В § 2 приведен один из простейших алгоритмов построения аттрактора системы итерированных функций — рандомизированный алгоритм.
• В третьей главе содержатся идеи перенесения СИФ из R2в (B(O,1), р) (модель Бельтрами-Клейна) и приведены разные примеры.
В § 1 приведены некоторые способы построения фракталов на плоскости Лобачевского как образы фракталов в R2.
В § 2 излагаются идеи перенесения системы итерированных функций из евклидовой плоскости в плоскость Лобачевского.
В § 3 приведены построенные изображения-аттракторы на плоскости Лобачевского.
• В приложении мы приводим сведения о размерности Хаусдорфа, поскольку без них изучение фрактальной геометрии плоскости Лобачевского было бы неполным.
В § 1 вводится понятие размерность Хаусдорфа в метрическом пространстве. Приводятся утверждения, позволяющие считать размерность при билипшицевых преобразованиях.
Наша цель — построение фракталов на плоскости Лобачевского. Для этого из известных моделей плоскости Лобачевского мы выбрали модель Бельтрами-Клейна в открытом круге единичного радиуса B(0,1) С R2. Среди всевозможных способов построения фракталов мы решили использовать системы итерированных функций.
В случае систем итерированных функций на R2наиболее часто используют набор аффинных преобразований {/ : R2! R2}n=1BТакие преобразования представимы в виде композиции сжатий по двум осям, поворота, отражения и параллельного переноса. Мы даем аналоги этих преобразований для модели Бельтрами-Клейна и строим СИФ на B (0,1), аттракторы которых являются некоторыми геометрическими аналогами аттракторов СИФ на R2.
Основные результаты работы были представлены на итоговой студенческой научной конференции КФУ 22 апреля 2016 года.

Купить