Интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях математики, в том числе в теории упругости, гидродинамике, теории пластичности, химической технологии и других. Множество теоретических и прикладных задач математики, механики, физики и техники приводят к решению различных классов сингулярных интегральных уравнений, точное решение которых может быть не получено, поэтому актуальна задача нахождения приближенного решения и получения оценок погрешности. Поэтому важное значение приобретает разработка приближенных методов решения таких уравнений. К наиболее известным приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений относятся методы подобластей, коллокации, метод механических квадратур, метод моментов. К настоящему моменту в этом направлении получено значительное число результатов.
Цель выпускной квалификационный работы - обзор метода подобластей для сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на единичной окружности.
Структура работы:
• В начале рассматриваем полином, который решает задачу интерполирования. Будем называть его интерполяционным полиномом Лагранжа и, чтобы отличать от других случаев интерполирования, обозначать Ln(f,z)в нашем случае, где п- степень интерполяции полинома.
• Далее введем оператор усредненного интерполирования Qnв комплексной плоскости, рассмотрены его свойства и сформулирована лемма.
• В заключительной главе рассмотрен метод подобластей для решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши. Оператор, введеный в прошлой главе и лемма будут использованы для решения СИУ с ядром Коши методом подобластей.
В данной дипломной работе определен оператор усредненного интерполирования Qnв комплексной плоскости и изучены некоторые свойства. Дано рассмотрение метода подобластей для решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на единичной окружности и с помощью данного оператора.
Исследовав свойства оператора усредненного интерполирования в комплексной плоскости, пришел к следующим результатам:
• оператор усредненного интерполирования является полиноминальним:
Qn : L2 (7) ! X2;
• оператор усредненного интерполирования является линейным;
• оператор усредненного интерполирования является ограниченным, и его норма
||QnH £2(7 )!L2(X ) 1;
• оператор усредненного интерполирования не является проекционным как оператор, действующий из Х2вХ2;
• оператор усредненного интерполирования является обратимым как оператор, действующий X2в X2, и ||Q“XH2<2;
• была сформулирована и доказана следующая лемма:
для любой функции f (z) = u(z) + iv(z) определим fn = X)f (zj)'j (z), где
j=0
zj
0, z 2 [zj, zj+i],возьмем систему узлов zj = e2n+1 ,j = 0 ... 2n.
Через Fn: Xn! Xnобозначим оператор, определив его Fnxn= Qn(fnxn)для любого элемента xn2 Xn.Если |f | >m > 0, то оператор Fn: Xn! Xnобратим и норма обратного оператора ЦЕ”1||Ln(7) ограничена в совокупности.
При рассмотрении метода подобластей сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на единичной окружности с помощью оператора усредненного интерполирования была существенно использована приведенная выше лемма и некоторые свойства этого оператора.
