Уравнением Абеля называется обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, кубическое по зависимой переменной. Выделению различных классов этих уравнений, интегрируемых в квадратурах, посвящен ряд работ, например, [1, 10].
Одним из возможных подходов к этой проблеме является нахождение классов уравнений, допускающих какую-либо нетривиальную симметрию (допускаемую группу), см., например, [3, 4, 9].
В настоящей дипломной работе мы, следуя идеям работы [2], переходим от уравнений первого порядка к уравнениям второго порядка. Для таких уравнений широко известна классификация допускаемых ими двумерных алгебр Ли. Мы находим шесть классов уравнений Абеля второго порядка, допускающих двумерную алгебру Ли. Каждое такое уравнение может быть проинтегрировано в квадратурах. Мы указываем алгоритм, позволяющий это сделать.
В дипломной работе решены следующие задачи:
1. Найдены все реализации двумерных алгебр Ли, одним из базисных
@ операторов которых является оператор @Х-
2. Найден канонический вид этих реализаций относительно группы преобразований, сохраняющей оператор @t.
3. Выписаны классы уравнений Абеля второго порядка, допускающих эти двумерные алгебры Ли.
4. Приведен алгоритм интегрирования уравнений, принадлежащих каждому из этих классов.
