Введение 3
1. Стратифицированное течение в круглой трубе 5
1.1 Физическая постановка задачи 5
1.2 Математическая постановка задачи 7
1.3 Решение 10
1.3.1 Переход в параметрическую плоскость.
Преобразование уравнений 10
1.3.2 Переход во вспомогательную плоскость.
Преобразование уравнений 16
1.3.2 Сетка. Дискретизация задачи. Результаты 21
2. Стратифицированное течение в трубе произвольного
поперечного сечения 28
2.1 Постановка задачи 28
2.2 Решение задачи 30
2.2.1 Переход в параметрическую плоскость.
Преобразование уравнений 31
2.2.2 Переход во вспомогательную плоскость.
Преобразование уравнений. Дискретизация 35
2.3 Результаты 42
3. Заключение 49
Список литературы 50
Приложение
Течение двух несмешивающихся жидкостей различной вязкости и плотности - широко распространенный процесс, как в естественной среде, так и промышленности. В частности, вышеуказанное течение реализуется при перемещении отходов и полезных ископаемых по трубам на большие расстояния. И, таким образом, их исследование представляет собой одну из фундаментальных проблем гидромеханики.
В различных областях индустрии наряду с горизонтальным двухфазным течением используется вертикальное, а так же наклонное течение жидкости. В последнем при определенных условиях восстанавливается течение по принципу противотока тяжелой фазы относительно легкой. Рассматривая случай горизонтального прямоточного потока двух несмешивающихся жидкостей, можно выделить несколько наиболее часто встречающихся форм:
• стратифицированное течение (каждая фаза движется в своей области с постоянной границей раздела),
• расслоенное течение с волновой границей раздела,
• кольцевое течение,
• пробковое течение (снарядное).
Вышеупомянутое стратифицированное течение встречается в ограниченном диапазоне жидкостей и реализуется при достаточно низких скоростях потока, где стабилизирующая сила тяжести является доминирующей в силу конечной разности плотностей. Одним из примеров данного течения служит поток воды и нефти по трубам в нефтяной промышленности.
Проблема добычи нефти, с которой сталкиваются производители, состоит в транспортировке. Дело в том, что перемещать вязкую нефть возможно лишь при достаточно высоких градиентах давления, а, следовательно, высоких затратах на энергию. Выходом из данной ситуации является добавление в нефть некоторого количества воды с целью снижения сопротивления. Объемный расход нефти при этом сохраняется.
В данной работе рассмотрен простейший режим двухфазного установившегося течения - ламинарный стратифицированный поток [1, 2] жидкости в горизонтальной трубе, при котором в нижней части трубы течет более тяжелая фаза (вода), а в верхней части - легкая (нефть). Для труб круглого поперечного сечения этот режим рассматривался во многих работах [3, 4, 5], основной задачей которых было вычисление при фиксированном перепаде давления объемных расходов воды бв и нефти QN в зависимости от отношения m = аДдъ > 1 вязкостей фаз и доли воды в потоке 5. В данных работах различными методами было получено аналитическое и численное решение уравнения Навье-Стокса, т.е. решение для поля скоростей в терминах перепада давления и объемного содержания, с использованием интегралов Фредгольма, Фурье, а также формального дифференцирования. И установлено, что зависимость Он (s) немонотонна. С ростом 5 вначале Q„ (s) растет, увеличиваясь на десятки процентов по сравнению с расходом QH (0) в трубе, полностью заполненной нефтью, и лишь затем снижается до нуля при 5 = 1, соответствующей расходу в трубе, полностью заполненной водой. Максимальное превышение QH (s) над QH (0) зависит от отношения вязкостей m и составляет, например, около 25% при m = 10 и 36% при m = 100. Указанный эффект объясняется тем, что водный слой выполняет роль жидкой смазки: двигаясь из-за малой вязкости со значительно большей средней скоростью, вода на межфазной границе увлекает за собой нефть.
Следствием немонотонности Qn (s) является принципиальная возможность повышения эффективности перекачки вязкой нефти в круглых трубах за счет добавления в поток некоторого количества воды. Первым этапом этой работы является численное решение оптимизационной задачи для труб круглого поперечного сечения. Еще одной возможностью является оптимизация формы поперечного сечения трубы. Так, например, в работе [6] представлены методы определения решения в горизонтальных трубах как круглого, так и произвольного поперечного сечения. Однако в данной работе ставится вопрос о форме поперечного сечения и степени заполнения водой максимально «эффективной» трубы. Таким образом, решением второй оптимизационной задачи являются а) форма трубы заданного периметра и б) доля площади трубы s, занятая водой, обеспечивающие максимальный расход нефти в трубе при заданном отношении m вязкостей нефти и воды. В результате решения поставленных задач оптимизации (для труб круглого и произвольного поперечного сечения) получен ряд характеристик течения. Данные характеристики будут подвергнуты сравнительному анализу.
Решена задача оптимизации формы трубы в режиме ламинарного стратифицированного течения вязкой жидкости. Для решения пары поставленных задач для круглой и «эффективной» трубы были составлены программы в пакете Matlab. В обоих случаях построены такие зависимости, как отношение расхода нефти в оптимальной по расходу трубе с дополнением воды в поток к расходу в круглой трубе, полностью заполненной нефтью; длина границы области, занятой водой; площадь сечения, занятого водой; доля воды в потоке от отношения вязкостей фаз. Определена новая форма поперечного сечения, его площадь также для различных отношений вязкостей.
Новая «оптимальная» форма характерна меньшей по сравнению с трубой круглого поперечного сечения площадью, а также меньшей долей воды в потоке. Длина границы области и площадь сечения, занятые водой, наоборот, выше полученных для круга.
Главный интерес состоял в том, чтобы выяснить степень выигрыша по расходу нефти в круглой трубе с добавлением воды в поток и после изменения ее формы. Итак, как видно из расчетов, при отношении вязкостей меньшем 10 форма трубы, параметры течения, а, следовательно, и расход нефти претерпевают минимальные изменения (не более 5 %). Далее с ростом отношения вязкостей фаз увеличивается и выигрыш по расходу нефти. Максимальная разница достигается при отношении вязкостей, стремящемся к бесконечности, и составляет лишь 12,9 %. Этот факт позволяет сделать вывод, что труба круглого поперечного сечения близка к оптимальной, а значит, не требует предположительно дорогостоящих модификаций относительно формы.
