Введение 2
Глава 1.
Общие сведения.
§1. Групповая алгебра 4
§2. Разложение групповых алгебр 5
§3 Элементы теории кодов 6
§4. Разложение Веддербёрна групповых алгебр 7
Глава 2.
Абелевы групповые коды.
§1 Циклотомические классы и их свойства 17
§2 Идемпотенты циклической группы 19
Глава 3.
Групповые коды, построенные с помощью группы диэдра.
§1 Основные сведения 21
§2 Примеры неабелевых кодов FqDp- 26
Список литературы
В последнее время интенсивно изучаются строения конечных групповых алгебр различных групп. Это объясняется тесной связью между теорией конечных групповых алгебр и теорией групповых кодов, поскольку многие хорошо известные коды- это в точности идеалы в конечных групповых алгебрах.
Основным объектом нашего изучения является групповые алгебры группы диэдра. Рассматриваются их строения, разложение Веддербёрна и изучаются идемпотенты данных алгебр. Эти алгебры изучаются в связи с тем, что, как показывает практика, групповые коды, построенные на основе групповых алгебр некомутативных групп дают наилучшую помехоустойчивость по сравнению с групповыми кодами, построенными на основе групповых алгебр коммутативных групп. В статьях [1],[2],[3] фигурирует определение "комбинаторной эквивалентности". На данный момент коды, которые не комбинаторно эквивалентны абелевым кодам, дают нам лучшие оценки. Связано это с неструктурированностью некоммутативных групповых кодов. Они, конечно, требуют больше ресурсов по сравнению со структурированными, но в эпоху цифрового прогресса данный вопрос уже не стоит на первом месте. В работе [1],[2] даётся вычислительное доказательство неабелевых кодов с помощью компьютерной системы GAP. Также в работе [3] найден групповой код групповой алгебры FqD9, который способен исправлять 15 из 18 ошибок, если характеристика поля отлична от 2, 3, 5, 7. В данной работе этот пример детально изучен, показано, что над F11 достигается данный вес и показано, что данный код некомбинаторно эквивалентен абелевому коду.
Данная работа состоит из 3-х глав. В первой главе приводятся вспомогательные сведения из теории групп и полей, теории кодирования и разложения Веддерберна некоторых групповых алгебр циклических групп и групп диэдра над различными полями. Также в первой главе предоставляется хороший инструментарий в виде теоремы 1.4.7, которая даёт нам представление о весе и размерности идеала. Во второй главе изучаются абелевы групповые коды. В третьей главе изучаются групповые коды, построенные с помощью группы диэдра. приводятся необходимые сведения, нужные для показания неабелевости групповых кодов группы диэдра. Во втором параграфе упор поставлен на вычислении примеров. Существенные вычисления для примеров проведены в пакетах компьютерной алгебры Mathematica и Maple.
