Введение 3
Глава 1. Некоторые криптографические протоколы на групповой платформе 6
§ 1. Протокол Anshel-Anshel-Goldfeld, Ко, Ли и др 6
§ 2. Протокол MOR 8
Глава 2. Один метод повышения криптостойкости протоколов . .12
§ 1. Маскирующие элементы в группах 12
§ 2. Циклический процесс 12
§ 3. Исправленный протокол MOR 15
Глава 3. Категорные группоиды 18
§ 1. Категории и функторы 18
§ 2. Группоиды 22
§ 3. Построение фактор-группоида 24
§ 4. Свободный группоид 25
§ 5. Группоид автоморфизмов 27
§ 6. Максировка группоида 28
Глава 4. Некоторые криптографические протоколы на группоидной платформе 29
§ 1. Протокол Махаланобиса для частично построенного группоида автоморфизмов . . . 29
§ 2. Маскирующий элемент для протокола Махаланобиса ... 32
ЛИТЕРАТУРА
Алгебраическая криптография с открытым ключом использует сложность решения некоторых алгебраических задач для обеспечения криптостойкости тех или иных алгоритмов обмена ключами, шифрования, цифровой подписи и т.д. При этом в качестве платформы шифрования (носителей информации) используются различные алгебраические системы:
группы, кольца и многие другие. Необходимость перехода от криптоалгоритмов, использующих натуральные числа, кольца вычетов и конечные
поля, к алгоритмам на других, некоммутативных, алгебраических платформах, связана в том числе с тем, что ожидаемые квантовые компьютеры
будут в состоянии решать за полиномиальное время задачи о разложении
натуральных чисел на множители, и задачи о дискретных логарифмах в
кольцах вычетов и конечных полях. Поэтому особую важность приобретают разработки новых протоколов на алгебраических платформах, атаки на
которые, быть может, окажутся слишком сложными даже для квантовых
компьютеров.
В нашей статье мы изучаем и усовершенствуем протокол формирования общего секретного ключа и передачи ключа из статьи “A simple
generalization of the El-Gamal cryptosystem to non-abelian groups” [7], который в дальнейшем получил название MOR. Этому протоколу посвещено
несколько работ: [8], [10] и много других. В 2015 году в статье [8] была
найдена атака на протокол А. Махаланобиса.
3Цель нашей работы: описать метод, который позволяет модифицировать
MOR так, чтобы противник не смог атаковать его в течении любого наперед
заданного времени.
Далее мы перевели MOR с групповой платформы на платформу категорных группоидов, и описываем новую модификацию MOR с тем же
свойством: широкий класс атак (как известных, так и пока неизвестных)
оказывается невозможным в течении времени, которое мы сами можем изначально задать (но не бесконечного).
Содержание работы таково:
В главе 1 рассматриваются некоторые протоколы на групповой платформе. В § 1 рассматривается известный протокол Anshel-Anshel-Goldfeld
[4], который будет использоваться в дальнейшем как составная часть других протоколов. В § 2 описывается протокол MOR. В § 3 дается описание
атаки на MOR из статьи [7].
В главе 2 получаем один из основных результатов работы. Сначала в §
1 и § 2 излагается общий метод повышения криптостойкости протоколов.
Он состоит в том,что известная изначально (в том числе и противнику)
группа “маскируется”: в ней вводится новая операция умножения, которая
зависит от неизвестного противнику параметра. Этот параметр находится
в результате осуществления некоторого протокола формирования общего
4секретного ключа (не MOR), который осуществляется итеративно, в цикле. В каждом раунде цикла атакующий противник, пытающийся найти
секретный параметр, отстает на некоторое время. При большом количестве раундов он отстанет на достаточно большое время. И только потом
(если его атаки будут успешными) он сможет определить, каково умножение в замаскированной группе, и только, зная это умножение, он сможет
атаковать MOR.
В главе 3 приводятся определения и простые примеры категорных группоидов.
В главе 4 некоторые идеи главы 3 переработаны для категорных группоидов. Основной результат — протокол MOR на платформе замаскированного категорного группоида.
