КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И АСИМТОТИКИ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КДВ КЛАССА
|
ВВЕДЕНИЕ 3
1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА И УРАВНЕНИЯ КДВ-КЛАССА 6
1.1. Вывод уравнения КдВ 6
1.2. Универсальность модели КдВ. Масштабные преобразования и принцип
подобия 10
1.3. Другие (1+1)-мерные уравнения КдВ-класса 13
1.3.1. Линеаризованное уравнение КдВ 14
1.3.2. Уравнение Бюргерса 15
1.4. Заключительные замечания по главе 1 15
2. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ 17
2.1. Уравнения КдВ с учетом дисперсионной поправки высшего порядка,
диссипации и неустойчивости 17
2.1.1. Диссипация. Уравнение КдВ-Бюргерса 17
2.1.2. Неустойчивость 19
2.1.3. Дисперсионная поправка высшего порядка 19
2.2. Заключительные замечания по главе 2 21
3. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ
ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КДВ-КЛАССА 23
3.1. Основные уравнения. Постановка задачи 24
3.2. Качественный анализ и асимптотики решений обобщенного уравнения
КдВ 26
3.3. Заключительные замечания по главе 3 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА И УРАВНЕНИЯ КДВ-КЛАССА 6
1.1. Вывод уравнения КдВ 6
1.2. Универсальность модели КдВ. Масштабные преобразования и принцип
подобия 10
1.3. Другие (1+1)-мерные уравнения КдВ-класса 13
1.3.1. Линеаризованное уравнение КдВ 14
1.3.2. Уравнение Бюргерса 15
1.4. Заключительные замечания по главе 1 15
2. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ 17
2.1. Уравнения КдВ с учетом дисперсионной поправки высшего порядка,
диссипации и неустойчивости 17
2.1.1. Диссипация. Уравнение КдВ-Бюргерса 17
2.1.2. Неустойчивость 19
2.1.3. Дисперсионная поправка высшего порядка 19
2.2. Заключительные замечания по главе 2 21
3. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ
ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КДВ-КЛАССА 23
3.1. Основные уравнения. Постановка задачи 24
3.2. Качественный анализ и асимптотики решений обобщенного уравнения
КдВ 26
3.3. Заключительные замечания по главе 3 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Уравнение Кортевега - де Вриза (уравнение КдВ) сыграло очень большую роль в науке. Физики достаточно быстро поняли его универсальность и
возможность приложения к волнам различной природы.
Обобщив метод Рэлея, голландские ученые Кортевег и де Вриз в 1895
году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Используя уравнения гидродинамики, они рассмотрели отклонение амплитуды волны u(x, t)
от положения равновесия (невозмущенная поверхность воды) при отсутствии
вихрей и при постоянстве плотности. Решающее влияние на развитие теории
нелинейных волн оказала идея Кортевега-де Вриза, суть которой состоит в
возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной
физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.
Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет
свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе
подобными уединенными волнами, то есть представляет собой локально
устойчивое образование. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз.
Надлежащее внимание солитонам стали уделять лишь в последней трети
ХХ века. Солитонные явления оказались универсальными и обнаружились в
математике, гидромеханике, акустике, радиофизике, астрофизике, биологии,
океанографии, оптической технике. Во всех вышеперечисленных областях
есть одна общая черта: в них или в отдельных их разделах изучаются волновые процессы, а проще говоря, волны. В наиболее общем смысле волна это
распространение возмущения какой-либо физической величины, характеризующей вещество или поле. Это распространение обычно происходит в ка4
кой-то среде воде, воздухе, твердых телах. И только электромагнитные волны могут распространяться в вакууме.
Открытия, связанные с уравнением Кортевега - де Вриза, не закончились
открытием солитона. Следующим важным шагом, имеющим отношение к
этому замечательному уравнению, было создание нового метода решения нелинейных уравнений в частных производных. Хорошо известно, что найти
решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов нашего столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные
решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега-де Вриза и в этом случае оказалось в исключительном положении.
В 1967 году американские физики К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М.
Крускал и Р. Миура показали, что решение уравнения Кортевега-де Вриза
может быть в принципе получено для всех начальных условий, которые
определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к
бесконечности. Они использовали преобразование уравнения Кортевега-де
Вриза к системе двух уравнений, называемой теперь парой Лакса (по имени
американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов), и открыли новый метод решения ряда очень важных
нелинейных уравнений в частных производных. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния, поскольку в нем существенно используется решение задачи квантовой механики о восстановлении потенциала по данным рассеяния.
В расширении интереса к нелинейным явлениям в различных областях
физики. Сформировались такие науки, как нелинейная акустика, нелинейная
оптика; богатый материал для исследования нелинейных волновых процессов дали физика плазмы, радиофизика, электроника. С установлением глубокой общности между явлениями, наблюдаемыми в системах самой различной
природы, пришло осознание того, что практически все многообразие нелинейных волновых процессов может быть сведено к небольшому числу ти5
пичных, канонических ситуаций, которые допускают описание при помощи
одних и тех же уравнений (получивших название эталонных). Все это привело к становлению новой науки — теории нелинейных волн.
Цель выпускной квалификационной работы: исследование уравнений
КдВ-класса методами качественного и асимптотического анализа для построения классификации возможных решений нелинейных систем, описывающих волновые процессы в реальных диспергирующих средах, таких как атмосфера, гидросфера и плазма/
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:
вывод уравнения КдВ из полной системы уравнений гидрогазодинамики,
исследование решений с помощью преобразований подобия;
обобщение уравнения КдВ с учетом высшей дисперсионной поправки,
диссипации и неустойчивости и анализ решений уравнений КдВ-класса;
исследование решений обобщенного уравнения КдВ в фазовом пространстве методами качественного анализа;
асимптотический анализ решений обобщенного уравнения КдВ.
возможность приложения к волнам различной природы.
Обобщив метод Рэлея, голландские ученые Кортевег и де Вриз в 1895
году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Используя уравнения гидродинамики, они рассмотрели отклонение амплитуды волны u(x, t)
от положения равновесия (невозмущенная поверхность воды) при отсутствии
вихрей и при постоянстве плотности. Решающее влияние на развитие теории
нелинейных волн оказала идея Кортевега-де Вриза, суть которой состоит в
возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной
физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.
Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет
свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе
подобными уединенными волнами, то есть представляет собой локально
устойчивое образование. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз.
Надлежащее внимание солитонам стали уделять лишь в последней трети
ХХ века. Солитонные явления оказались универсальными и обнаружились в
математике, гидромеханике, акустике, радиофизике, астрофизике, биологии,
океанографии, оптической технике. Во всех вышеперечисленных областях
есть одна общая черта: в них или в отдельных их разделах изучаются волновые процессы, а проще говоря, волны. В наиболее общем смысле волна это
распространение возмущения какой-либо физической величины, характеризующей вещество или поле. Это распространение обычно происходит в ка4
кой-то среде воде, воздухе, твердых телах. И только электромагнитные волны могут распространяться в вакууме.
Открытия, связанные с уравнением Кортевега - де Вриза, не закончились
открытием солитона. Следующим важным шагом, имеющим отношение к
этому замечательному уравнению, было создание нового метода решения нелинейных уравнений в частных производных. Хорошо известно, что найти
решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов нашего столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные
решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега-де Вриза и в этом случае оказалось в исключительном положении.
В 1967 году американские физики К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М.
Крускал и Р. Миура показали, что решение уравнения Кортевега-де Вриза
может быть в принципе получено для всех начальных условий, которые
определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к
бесконечности. Они использовали преобразование уравнения Кортевега-де
Вриза к системе двух уравнений, называемой теперь парой Лакса (по имени
американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов), и открыли новый метод решения ряда очень важных
нелинейных уравнений в частных производных. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния, поскольку в нем существенно используется решение задачи квантовой механики о восстановлении потенциала по данным рассеяния.
В расширении интереса к нелинейным явлениям в различных областях
физики. Сформировались такие науки, как нелинейная акустика, нелинейная
оптика; богатый материал для исследования нелинейных волновых процессов дали физика плазмы, радиофизика, электроника. С установлением глубокой общности между явлениями, наблюдаемыми в системах самой различной
природы, пришло осознание того, что практически все многообразие нелинейных волновых процессов может быть сведено к небольшому числу ти5
пичных, канонических ситуаций, которые допускают описание при помощи
одних и тех же уравнений (получивших название эталонных). Все это привело к становлению новой науки — теории нелинейных волн.
Цель выпускной квалификационной работы: исследование уравнений
КдВ-класса методами качественного и асимптотического анализа для построения классификации возможных решений нелинейных систем, описывающих волновые процессы в реальных диспергирующих средах, таких как атмосфера, гидросфера и плазма/
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:
вывод уравнения КдВ из полной системы уравнений гидрогазодинамики,
исследование решений с помощью преобразований подобия;
обобщение уравнения КдВ с учетом высшей дисперсионной поправки,
диссипации и неустойчивости и анализ решений уравнений КдВ-класса;
исследование решений обобщенного уравнения КдВ в фазовом пространстве методами качественного анализа;
асимптотический анализ решений обобщенного уравнения КдВ.
В данной выпускной работе были рассмотрены следующие вопросы:
вывод уравнения КдВ и его решения; различные обобщения уравнения КдВ с
учетом эффектов, свойственных реальным физическим средам (высшей дисперсионной поправки, диссипации и неустойчивости). На этой основе было
сформулировано обобщенное уравнение КдВ, как модель класса нелинейных
уравнений, описывающих распространение одномерных нелинейных волн в
диспергирующих средах с диссипацией и неустойчивостью.
На основе проведенного качественного и асимптотического анализа
обобщенного уравнения КдВ были построены в 4-мерном фазовом пространстве фазовые портреты возможных решений и было показано, что обобщенное уравнение КдВ может иметь решения солитонного и несолитонного типов, а также что солитонные решения могут иметь как гладкие (экспоненциально затухающие), так и осциллирующие асимптотики.
Полученные результаты могут иметь очевидные приложения в описании
формирования, распространения и трансформации нелинейных волновых
структур в ионосфере, в частности, динамики ВГВ в F-слое ионосферы [1-3].
На основании представленной в настоящей работе техники, в частности, может быть проведена классификация решений для солитоноподобных ВГВ в
F-слое ионосферы и может быть показано, что при разных значениях основных ионосферных параметров в F-слое могут быть возбуждены солитоны,
как и с осциллирующими, так и с гладкими асимптотиками, в других же случаях формирующиеся волновые структуры будут затухать и распадаться.
Отметим, что рассмотрение вопросов, связанных с возможными приложениями полученных в данной работе результатов, не входило в перечень поставленных задач.
вывод уравнения КдВ и его решения; различные обобщения уравнения КдВ с
учетом эффектов, свойственных реальным физическим средам (высшей дисперсионной поправки, диссипации и неустойчивости). На этой основе было
сформулировано обобщенное уравнение КдВ, как модель класса нелинейных
уравнений, описывающих распространение одномерных нелинейных волн в
диспергирующих средах с диссипацией и неустойчивостью.
На основе проведенного качественного и асимптотического анализа
обобщенного уравнения КдВ были построены в 4-мерном фазовом пространстве фазовые портреты возможных решений и было показано, что обобщенное уравнение КдВ может иметь решения солитонного и несолитонного типов, а также что солитонные решения могут иметь как гладкие (экспоненциально затухающие), так и осциллирующие асимптотики.
Полученные результаты могут иметь очевидные приложения в описании
формирования, распространения и трансформации нелинейных волновых
структур в ионосфере, в частности, динамики ВГВ в F-слое ионосферы [1-3].
На основании представленной в настоящей работе техники, в частности, может быть проведена классификация решений для солитоноподобных ВГВ в
F-слое ионосферы и может быть показано, что при разных значениях основных ионосферных параметров в F-слое могут быть возбуждены солитоны,
как и с осциллирующими, так и с гладкими асимптотиками, в других же случаях формирующиеся волновые структуры будут затухать и распадаться.
Отметим, что рассмотрение вопросов, связанных с возможными приложениями полученных в данной работе результатов, не входило в перечень поставленных задач.