Помощь студентам в учебе
Аппроксимации для распределений случайных сумм и некоторые их применения
|
Введение 3 1 Оценки точности асимптотических аппроксимаций для обобщенных пуассоновских распределений 12
1.1 Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных
сумм 12
1.2 Оценки точности приближения обобщенных пуассоновских распределений с помощью соответствующих асимптотических разложений 15
2 Естественные оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм сдвиговыми смесями устойчивых законов 32
2.1 Естественные оценки 32
2.2 Естественные оценки скорости сходимости распределений случайных сумм к устойчивым законам 37
2.3 Оценки скорости сходимости распределений случайных
сумм к устойчивым законам в равномерной метрике .... 41
2.4 Оценки точности аппроксимации устойчивыми законами распределений пуассоновских случайных сумм, в которых слагаемые имеют тяжелые хвосты 42
2.5 Оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм "сопровождающими" сдвиговыми смесями устойчивых законов 44
2.6 Оценки скорости сходимости распределений случайных
сумм к сдвиговым смесям устойчивых законов 3 Асимптотическое поведение обобщенных процессов
Кокса с большими скачками 48
3.1 Обобщенные процессы Кокса 48
3.2 Лемма об асимптотическом поведении суперпозиций независимых случайных процессов 50
3.3 Основная теорема о сходимости обобщенных процессов Кокса с большими скачками 53
3.4 Оценки скорости сходимости обобщенных процессов Кокса
с большими скачками 65
4 Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска
при возможности больших выплат 72
4.1 Обобщенные процессы риска 72
4.2 Основная теорема об асимптотическом поведении обобщенных процессов риска при возможности больших выплат. . 75
4.3 Обобщенные процессы риска с пакетным поступлением страховых требований 77
4.4 Оценки точности аппроксимации распределений обобщенных процессов риска с большими выплатами сдвиговыми смесями устойчивых законов 80
5 Об оптимальном планировании резерва
и начальном капитале страховой компании 87
5.1 Об оптимальном планировании резерва 87
5.2 Оценки для оптимального резерва 89
5.3 Оценки для оптимального резерва с непостоянной функцией издержек 93
5.4 Об оптимальном начальном капитале страховой компании. 98
5.5 Оценки для начального капитала страховой компании. . . 100
5.6 Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии и времени достижения желаемого значения резерва 103
5.7 Оптимизация параметров процесса риска, связанная с нежелательностью избыточного размера стартового капитала . 107
Литература 111
1.1 Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных
сумм 12
1.2 Оценки точности приближения обобщенных пуассоновских распределений с помощью соответствующих асимптотических разложений 15
2 Естественные оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм сдвиговыми смесями устойчивых законов 32
2.1 Естественные оценки 32
2.2 Естественные оценки скорости сходимости распределений случайных сумм к устойчивым законам 37
2.3 Оценки скорости сходимости распределений случайных
сумм к устойчивым законам в равномерной метрике .... 41
2.4 Оценки точности аппроксимации устойчивыми законами распределений пуассоновских случайных сумм, в которых слагаемые имеют тяжелые хвосты 42
2.5 Оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм "сопровождающими" сдвиговыми смесями устойчивых законов 44
2.6 Оценки скорости сходимости распределений случайных
сумм к сдвиговым смесям устойчивых законов 3 Асимптотическое поведение обобщенных процессов
Кокса с большими скачками 48
3.1 Обобщенные процессы Кокса 48
3.2 Лемма об асимптотическом поведении суперпозиций независимых случайных процессов 50
3.3 Основная теорема о сходимости обобщенных процессов Кокса с большими скачками 53
3.4 Оценки скорости сходимости обобщенных процессов Кокса
с большими скачками 65
4 Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска
при возможности больших выплат 72
4.1 Обобщенные процессы риска 72
4.2 Основная теорема об асимптотическом поведении обобщенных процессов риска при возможности больших выплат. . 75
4.3 Обобщенные процессы риска с пакетным поступлением страховых требований 77
4.4 Оценки точности аппроксимации распределений обобщенных процессов риска с большими выплатами сдвиговыми смесями устойчивых законов 80
5 Об оптимальном планировании резерва
и начальном капитале страховой компании 87
5.1 Об оптимальном планировании резерва 87
5.2 Оценки для оптимального резерва 89
5.3 Оценки для оптимального резерва с непостоянной функцией издержек 93
5.4 Об оптимальном начальном капитале страховой компании. 98
5.5 Оценки для начального капитала страховой компании. . . 100
5.6 Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии и времени достижения желаемого значения резерва 103
5.7 Оптимизация параметров процесса риска, связанная с нежелательностью избыточного размера стартового капитала . 107
Литература 111
Суммы случайного числа случайных величин (для краткости мы будем использовать термин "случайные суммы") играют важную роль в математическом моделировании многих процессов и явлений. Многочисленные примеры задач из самых различных областей науки и практики, в которых случайные суммы являются базовыми математическими моделями, можно найти, например, в монографиях В. М. Круглова и В. Ю. Королева (Круглов и Королев, 1990) и Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева (Gnedenko and Korolev, 1996). Здесь же мы ограничимся упоминанием лишь тех приложений, о которых пойдет речь в диссертации. К их числу в первую очередь относится теория риска - математическая теория страхования. Здесь нецентрированные случайные суммы являются моделями суммарных страховых требований (выплат) за некоторый промежуток времени; центрированные случайные суммы являются моделями остаточного резерва страховых выплат. В последнем случае центрирование может осуществляться как неслучайными величинами (что соответствует детерминированному поступлению страховых премий), так и случайными величинами (что соответствует случайным страховым премиям и, возможно, учету других случайных факторов, влияющих на величину резерва).
Асимптотическая теория случайного суммирования является активно развивающимся разделом теории вероятностей. В подтверждение этого в дополнение к уже упоминавшимся монографиям (Круглов и Королев, 1990) и (Gnedenko and Korolev, 1996) упомянем книги А. Гута (Gut, 1988), В. Ю. Королева (Королев, 1997), В. В. Калашникова (Kalashnikov, 1997) и недавно вышедшие монографии Д. С. Сильвестрова (Silvestrov, 2002), В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева (Bening and Korolev, 2002)и Jl. Б. Клебанова (Klebanov, 2003), содержащие изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса (Robbins, 1948), который в схеме "нарастающих" сумм нашел достаточные условия сходимости распределений нецентрированных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм - к сдвиговым смесям
нормальных законов; P. J1. Добрушина (Добрушин, 1955), обобщившего результаты Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант; Б. В. Гнеденко, который, во-первых, совместно со своим учеником X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (Гнеденко и Фахим, 1969), и, во-вторых, поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости, первые шаги в решении которой были сделаны его учениками и прежде всего, А. В. Печинкиным (Печинкин, 1973) (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом (Саас, 1972), (Szasz, 1972) для общего случая; В. М. Круглова, в частности, нашедшего необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм (Круглов, 1998); В. Ю. Королева, который, во-первых, совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых (Korolev and Kruglov, 1998), и, во-вторых, уточнил и обобщил упоминавшиеся выше результаты P. J1. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных случайных процессов (Korolev, 1996). Последние результаты, в частности, позволили установить необходимые и достаточные условия слабой сходимости процессов риска как с детерминированными, так и со случайными премиями (Бенинг и Королев, 2000а), (Бенинг и Королев, 2000b), (Bening and Korolev, 2002).
Помимо теоретического интереса, задача об асимптотическом поведении распределений случайных сумм имеет еще и большое практическое значение.
Асимптотическая теория случайного суммирования является активно развивающимся разделом теории вероятностей. В подтверждение этого в дополнение к уже упоминавшимся монографиям (Круглов и Королев, 1990) и (Gnedenko and Korolev, 1996) упомянем книги А. Гута (Gut, 1988), В. Ю. Королева (Королев, 1997), В. В. Калашникова (Kalashnikov, 1997) и недавно вышедшие монографии Д. С. Сильвестрова (Silvestrov, 2002), В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева (Bening and Korolev, 2002)и Jl. Б. Клебанова (Klebanov, 2003), содержащие изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса (Robbins, 1948), который в схеме "нарастающих" сумм нашел достаточные условия сходимости распределений нецентрированных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм - к сдвиговым смесям
нормальных законов; P. J1. Добрушина (Добрушин, 1955), обобщившего результаты Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант; Б. В. Гнеденко, который, во-первых, совместно со своим учеником X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (Гнеденко и Фахим, 1969), и, во-вторых, поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости, первые шаги в решении которой были сделаны его учениками и прежде всего, А. В. Печинкиным (Печинкин, 1973) (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом (Саас, 1972), (Szasz, 1972) для общего случая; В. М. Круглова, в частности, нашедшего необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм (Круглов, 1998); В. Ю. Королева, который, во-первых, совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых (Korolev and Kruglov, 1998), и, во-вторых, уточнил и обобщил упоминавшиеся выше результаты P. J1. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных случайных процессов (Korolev, 1996). Последние результаты, в частности, позволили установить необходимые и достаточные условия слабой сходимости процессов риска как с детерминированными, так и со случайными премиями (Бенинг и Королев, 2000а), (Бенинг и Королев, 2000b), (Bening and Korolev, 2002).
Помимо теоретического интереса, задача об асимптотическом поведении распределений случайных сумм имеет еще и большое практическое значение.