Введение 2
1. Задача теории упругости 4
2. Растяжение пластины с круглым отверстием 8
2.1. Задача 8
2.2. Результаты аналитического решения 9
3. Анализ задачи в PDE Toolbox 11
3.1. Задача нагрузки 11
3.2. Построение геометрии с помощью инструментов Draw 12
3.3. Задание коэффициентов и граничных условий 12
3.4. Разбиение области на конечные элементы 16
3.5. Решение и визуализация результата 17
Заключение 20
Список литературы 21
В работе проводится анализ конечно-элементной плоской задачи теории упругости в пакете MATLAB. Для анализа задачи используется PDE Toolbox, пакет расширения MATLAB, который содержит инструменты для исследования и решения уравнений в частных производных. PDE Toolbox это приложение с графическим интерфейсом пользователя, использование которого не требует глубокого понимания метода конечных элементов. Среда позволяет задать геометрию области, тип и коэффициенты дифференциального уравнения, граничные и начальные условия, произвести разбиение области на конечные элементы и визуализировать результат [7].
Для начала рассматривается аналитическое решение задачи о растяжении пластины с круглым отверстием. Решение задачи о концентрации напряжений на краю отверстия представляет большой практический интерес. Подобные задачи очень актуальны, так как применяются почти во всех областях. В судостроении, авиастроении, машиностроении, геологии и строительстве. Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений возле отверстий в конструкциях и материалах, нередко их можно свести к плоским задачам об упругой плоскости с отверстиями. К таким задачам можно отнести, например, задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах.
Высокая концентрация напряжений на краю отверстия представляет большой практический интерес. В самом общем случае при решении подобных задач рассматривается бесконечная пластина. Однако на практике приходится иметь дело с пластинами конечной ширины.
Мы рассмотрели аналитическое решение плоской задачи теории упругости и произвели решение в PDE Toolbox. Приложение позволяет решать задачи из разных областей, а удобный интерфейс не требует глубокого понимания метода конечных элементов. В результате мы получили решение, которое полностью удовлетворяет аналитическому.
