ВВЕДЕНИЕ 3
1 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ: ИСТОРИЯ, ПОНЯТИЯ 6
1.1 Общая характеристика проблем решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 7
1.2 Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.
Понятие определителя 2-го порядка 9
1.3 Матричный способ решения СЛАУ 13
1.4 Метод Гаусса 16
2 СОЗДАНИЕ И ОПИСАНИЕ ПРОЕКТА 23
2.1 Разработка модифицированного алгоритма Гаусса 23
2.2 Обоснование выбора языка программирования 26
2.3 Обоснование выбора среды разработки 28
3 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 32
3.1 Создание приложения 32
3.2 Тестирование приложения 33
3.3 Сравнение модифицированного метода Гаусса с традиционным методом 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 50
ПРИЛОЖЕНИЕ 54
Данная тема является актуальной, т.к. решение систем линейных алгебраических уравнений - одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения именно системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для прикладных задач, но от умения эффективно решать данные системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности - нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.
Научная новизна данной работы состоит в том, чтобы получить точное решение систем линейных алгебраических уравнений модифицированным методом Гаусса без деления на разрешающий элемент, без потери точности в случае рациональных коэффициентов.
Целью магистерской диссертации является модифицирование метода Г аусса для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с рациональными коэффициентами, с целью уменьшения возможной погрешности вычислений.
Основными задачами работы являются:
1) Разработка метода приведения СЛАУ с рациональными коэффициентами к виду с целочисленными коэффициентами;
2) Разработка алгоритма модифицированного метода Гаусса без деления на разрешающий элемент;
3) Компьютерная реализация модифицированного метода Г аусса;
4) Тестирование метода и инструментальных средств поддержки.
Объект исследования — системы линейных алгебраических уравнений, их современное состояние и проблемы их решения.
Предмет исследования — решение СЛАУ модифицированным методом Гаусса.
Методы исследования — в данной работе будут рассмотрены основные методы решения СЛАУ, их особенности и сложности реализации.
Достоверность полученных результатов обеспечивается
использованием общепризнанных математических методов, сравнением с результатами других авторов, совпадением аналогичных результатов, сравнением теоретических результатов с экспериментальными.
Данная магистерская диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и приложения. Она изложена на 71 страницах машинописного текста, включающего 17 рисунков и список литературных источников из 45 наименований.
Во введении обосновывается актуальность темы магистерской диссертации, научная новизна и формулируется её цель, дается общий обзор содержания работы.
В первом разделе магистерской диссертации «Системы уравнений: понятие, история» анализируются: определение системы линейных
алгебраических уравнений, проблемы их решения, их применение в различных научных сферах деятельности, основные методы решения и выбор метода Гаусса в качестве предмета научного исследования.
Во втором разделе «Создание и описание метода» ведется разработка алгоритма модифицированного метода Гаусса, ориентированного на компьютерные вычисления без потери точности в случае рациональных коэффициентов, а также описание блок-схемы алгоритма, языка программирования и среды программной разработки, в которой будет реализован данный метод.
В третьем разделе «Программная реализация» описано выполнение созданного приложения, показаны результаты работы модифицированного алгоритма Гаусса, а также наглядное сравнение модифицированного метода Гаусса с традиционным.
В заключении обсуждается научная и практическая значимость полученных результатов.
В приложении представлен модифицированный автором алгоритм для решения СЛАУ методом Гаусса в случае рациональных коэффициентов, реализованный в среде Visual Studio. Приведен листинг формы приложения и программы, реализующей данный модифицированный метод, а также даны комментарии к ним.
При выполнении магистерской диссертации были выполнены следующие задачи:
1) было сформулировано определение системы линейных алгебраических уравнений, их применение в различных областях науки;
2) рассмотрены основные методы решения СЛАУ, проблемы их решения, а также обоснован выбор метода Гаусса в качестве предмета научно-исследовательской работы;
3) выбраны и описаны язык программирования и среда программной разработки;
4) разработан алгоритм модифицированного метода Гаусса, ориентированного на компьютерные вычисления без потери точности в случае рациональных коэффициентов.
В приложении приведены листинг формы приложения, а также листинг основной программы на языке C# в среде разработки Visual Studio.
