Введение 3
1. Предварительные сведения 5
2. Классы подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана 7
3. Ортомодулярные свойства класса CM(S) 16
4. Описание класса подпространств C^(S) с помощью ортопроекторов в пополнении 18
5. Описание класса квазирасщепляющих подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана 21
6. Свойства класса подпространств E^JS) 26
Заключение 30
Список литературы
Интерес к классам подпространств унитарного пространства возник в 30-х годах прошлого столетия в классических работах Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея.
Несмотря на фундаментальный характер исследований по основным проблемам теории алгебр фон Неймана, теорию классов подпространств унитарного пространства нельзя считать завершенной, поскольку многие интересные вопросы до сих пор остаются открытыми.
Данная работа посвящена исследованию свойств некоторых классов подпространств унитарного пространства, присоединенных к алгебре фон Неймана. Основное внимание уделено классу квазирасщепляющих под-пространств. Этот класс был введен Д. Бухагиаром и Э. Кеткути, как промежуточный между классами расщепляющих и ортозамкнутых подпространств. Также рассматривается класс полных и кополных подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана.
Цель работы заключается в изучении свойств классов квазирасщепляющих и полных/кополных подпространств, сравнение их со свойствами уже известных классов подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана. Были рассмотрены свойства квазирасщепляющих подпространств в случае присоединенности к алгебре ограниченных линейных операторов. В работе изучены отношения между классами расщепляющих, квазирасщепляющих и ортозамкнутых подпространств, построены соответствующие примеры. Данные соотношения позволяют связать совпадение классов подпространств с полнотой унитарного пространства. Подробно изучен вопрос совпадения расщепляющих и полных/кополных подпространств, построен пример, иллюстрирующий отсутствие совпадения этих классов. Также было получено описание классов квазирасщепляющих и полных/кополных подпространств с помощью ортопроекторов в пополнении, а также взаимно однозначное соответствие между ортопроекторами и квазирасщепляющими подпространствами. Что касается ортомодулярных свойств, то показано, что класс полных и кополных подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, есть ортомодулярное множество, а класс квазирасщепляющих подпространств является ортомодулярным множеством только в случае совпадения с классом расщепляющих подпространств, а также приведен пример, иллюстрирующий, что класс квазирасщепляющих подпространств, вообще говоря, не является решеткой.
Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований свойств квазирасщепляющих подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, а также для решения ряда задач, связанных с мерами на данном классе подпространств.
Таким образом, в данной работе были исследованы свойства классов квазирасщепляющих и полных/кополных подпространств унитарного пространства, присоединенных к алгебре фон Неймана. Проведено сравнение изучаемых классов подпространств со свойствами уже известных классов подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана. Построены соответствующие примеры, которые показывают отношения между классами ортозамкнутых, расщепляющих, квазирасщепляющих и полных/кополных подпространств. Получены описания исследуемых классов подпространств с помощью ортопроекторов в пополнении. Показано взаимно однозначное соответствие между ортопроекторами и квазирасщепляющими подпространствами. А также изучены ортомодулярные свойства классов квазирасщепляющих и полных/кополных подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана.
