ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1.АНАЛИЗ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ 6
1.1 Развитие теории простых чисел 6
1.2 Простые числа и криптография 11
1.2.1 Алгоритм Диффи-Хеллмана 12
1.2.2 Криптосистема RSA 13
1.2.3 Криптосистемы на эллиптических кривых (криптосистемы ЕСС)
ГЛАВА 2. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА 21
2.1. Свойства дзета-функции Римана 21
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ 25
3.1. Постановка задачи 25
3.2. Вывод частичных сумм: решение поставленных задач 25
ГЛАВА 4.РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИКЛАДНОЙ ПРОГРАММЫ 32
4.1. Неравенство Чебышёва 33
4.2 Решето Аткина 34
4.3. Построение графиков: Уточняющие оценки для функции Чебышева и вспомогательных числовых рядов 36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 47

Приложения должны быть в работе, но в данный момент отсутствуют

Купить

Теория чисел нашла широкое применение в криптографии примерно 40 лет назад. Криптография в общем смысле -это инженерно-техническая дисциплина, которая занимается математическими методами защиты информации. Актуальность этого направления неизмеримо увеличилась в 70-е годы XX века в связи с прогрессом вычислительной техники и появлением криптосистем Диффи—Хеллмана и RSA.
Вычислительный прогресс имеет две стороны: технологическую и
алгоритмическую. Несомненно, надо отдать должное качеству и количеству вычислительной техники, но, что также несомненно, не в полной мере. Если бы мы до сих пор использовали алгоритмы, созданные до 1975 г., то даже с помощью наилучшего оборудования мы не смогли бы установить простоту числа, состоящего более чем из 40 знаков. В этой связи неудивительно, что на первом месте для изучения стоит классическая теория простых чисел.. Без фундаментальных результатов аналитической теории чисел, невозможно провести анализ сложности теоретико-числового алгоритма.
Основным инструментом работы с теоретико-числовыми задачами является числовой ряд. Теория рядов - это раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью. Таким образом, представляется актуальным изучить числовые ряды, их основные понятия и особенности сходимости ряда. Стойкость криптографических алгоритмов зависит от невозможности найти быстрые методы для решения задач, то с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к задаче вычисления приближенных значений функций для числовых рядов. Таким образом, предметом исследования данной работы являются аппроксимирующие функции числовых рядов в криптографии.
Стоит подчеркнуть, что функции, рассматриваемые в работе, обобщают известные в теории чисел формулы Мерсенна, используемые для оценки частичных сумм рядов по простым числам, и могут быть использованы в криптографии для уточнения сходимости метода Ленстры факторизации целых чисел на основе эллиптических кривых и для оценки криптоустойчивости известного метода двухключевой криптографии RSA.
Также работа может применяться:
- при выводе оценки сложности для методов факторизации простых чисел;
- при упрощении доказательства Сельберга по распределению простых чисел;
- в учебном курсе «Теория чисел», как пример вывода аппроксимирующих формул для рядов по простым числам.
Научная новизна дипломной работы определяется самостоятельным выводом формул, которые в дальнейшем могут использоваться в криптографических алгоритмах.
Целью дипломной работы является исследование и оценка сходимости числовых рядов, используемых в криптографии. Проверка теоретических результатов исследования на программном уровне.
Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:
1. Изучение теоремы Чебышева и закона распределения простых чисел. Построение теоретических оценок частичных сумм числовых рядов по простым числам.
2. Разработка программного комплекса с использованием языка программирования C# для решения следующих задач:
1) реализации алгоритма Аткина для нахождения простых чисел до 1 0 8,
2) оценка погрешности функции Чебышева для чисел до 1 0 8и вспомогательных числовых рядов по простым числам;
3) Исследование полученных результатов, выявление закономерностей, построение графиков.
Процесс исследования и оценки рядов можно разбить на несколько этапов. На первом этапе проводится анализ предметной области.
Рассмотрение результатов исследований великих математиков в области теории чисел, изучение теоретического материала по сходимости числовых рядов по простым числам, определение функции Чебышева. Изучение применимости подобных исследований в области криптографии.
Во второй главе описывается Z-функции Римана, её свойства. Определяется важность гипотезы Римана для криптографии.
В третьей главе работы осуществляется решение поставленных задач, путем пост роения доказательств аппроксимирующих формул для рядов простых чисел.
В заключительной главе реализуется прикладная программа и построение экспериментальных оценок на основе этой программы. Производится сравнение теоретических и экспериментальных результатов.
Ожидаемые результаты работы:
1) Программный комплекс, отвечающий предъявленным требованиям, представляющий собой удобный инструмент для исследования сходимости числовых рядов, связанных с простыми числами.
2) Доказательство аппроксимирующих формул.
3) Итоговые результаты в виде графиков погрешностей
Купить