ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ 7
ГЛАВА 2. ОДНОСТОРОНЯЯ ФУНКЦИЯ И СИСТЕМЫ ШИФРОВАНИЯ В
КРИПТОГРАФИИ 12
2.1. Односторонняя функция 12
2.2. Системы шифрования 14
2.2.1. RSA 14
2.2.2. Алгоритм Диффи-Хеллмана 17
2.3. Криптографические системы на эллиптических кривых 19
ГЛАВА 3. ГИПОТЕЗА РИМАНА 23
ГЛАВА 4. ВЫВОД ОЦЕНКИ СХОДИМОСТИ 25
ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 34
5.1. Решето Аткина 34
5.2. Анализ полученных результатов 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 44
ПРИЛОЖЕНИЕ
В современном мире информационная сфера имеет две ключевые части: техническую (техника, технологии и т. п.) и психологическую
(естественная природа, включающая в себя и самого человека). В связи этим, информационную безопасность социума (государства) можно представить в виде двух составных частей: информационно-технической безопасностью и информационно-психологической (психофизической) безопасностью.
Активное развитие информационных технологий и средств связи повышает актуальность проблемы информационной безопасности. По этой причине требуется совершенствовать старые методы защиты информации и средства, а также разрабатывать новые методы и средства, направленные на повышение уровня информационной безопасности общества. Следовательно, необходим комплексный подход для повышения уровня информационной безопасности социума. Таким образом, возникает потребность перейти к эффективному использованию правовых, организационных и технических мер обеспечения защиты информации.
Одну из главных ролей в обеспечении информационной безопасности играют криптографические методы. На сегодняшний день, увеличивается актуальность использования криптографических систем защиты информации. Данный вид систем работают на основе криптографических алгоритмов. На текущий момент наиболее часто используемыми криптографическими алгоритмами являются алгоритмы Эль-Гамаля и RSA. Эти алгоритмы основаны на вычислительной сложности задач факторизации и вычисления дискретного логарифма в конечном поле.
В данных алгоритмах для шифрования данных и создания электронной цифровой подписи используются простые числа порядка 1024-бит и больше. Таким образом, генерация и работа с большими простыми числами стали одной из главных задач современной криптографии. Следовательно, главной причиной использования простых чисел в криптографии является трудность их обнаружения.
В настоящее время, существует множество алгоритмов нахождения простых чисел, которые позволяют решить эту задачу достаточно быстро. Однако, при работе с криптографическими системами часто возникает необходимость вычисления суммы ряда простых чисел. В связи с этим возникает актуальность изучения теории рядов. Теория рядов - это один из важнейших разделов математического анализа, который предоставляет множество инструментов и методов для работы с рядами. Так как стойкость криптографических систем во многом зависит от сложности решения ряда задач, то возникает актуальность задачи вычисления значений функций числовых рядов для снижения трудовых ресурсов, затрачиваемых при решении таких задач. Соответственно, предметом изучения данного исследования являются аппроксимирующие функции числовых рядов, которые часто используются в криптографии, играет важную роль в информационной безопасности.
Стоит отметить, что функции, которые являются предметом исследования в данной работе, обобщают известные формулы Мерсенна, которые применяются при оценки частичных сумм рядов простых чисел, и могут использоваться в криптографии для уточнения сходимости метода Ленстры факторизации целых чисел на основе эллиптических кривых и для оценки криптоустойчивости алгоритма с открытым ключом RSA.
Результаты исследования также могут использоваться в следующих случаях:
- при выводе оценки сложности алгоритмов факторизации простых чисел;
- при упрощении доказательства теоремы Сельберга по распределению простых чисел;
- в учебном курсе теории чисел, как практический пример вывода аппроксимирующих функций для рядов простых чисел.
Научная новизна дипломной работы заключается в самостоятельном выводе аппроксимирующих функций, которые в последующем могут использоваться в различных криптографических алгоритмах и методах.
Целью данной работы является исследование и оценка сходимости числовых рядов, используемых в криптографии. Апробация теоретических результатов на программном комплексе.
Для выполнения поставленных целей были сформулированы следующие подзадачи:
1. Необходимо изучить теорему Чебышева и закона распределения простых чисел. Построение теоретических оценок частичных сумм числовых рядов по простым числам.
2. Разработать программный комплекс на языке программирования C# для решения следующих задач:
1) реализация алгоритма Аткина для нахождения простых чисел до заданой границы (в частности 108);
2) оценка погрешности функции Чебышева для чисел до 108 и вспомогательных числовых рядов по простым числам;
3) Исследование полученных результатов, выявление закономерностей, пост роение графиков.
Данный процесс исследования и оценки рядов можно разделить на несколько этапов. На первом этапе проводится изучение предметной области, основных аспектов теории рядов и криптографии.
В частности, изучение результатов исследований математиков прошлого, изучение теоретического материала числовых рядов по простым числам и функции Чебышева. А также анализ возможности применения данных исследований на практике в частности в криптографии.
Во второй главе приводится практические примеры использования простых чисел, а также и основного предмета изучения данной работы частичных сумм рядов по простым числам.
В третьей части приводится функция Римана и её свойства. Определяется важность данной гипотезы для информационной безопасности и криптографии, в частности.
В четвертой главе работы приводится результаты выполнения поставленных задач, в виде доказательства формул, построения графиков. В пятой и заключительной главе приводится описание результатов, полученных практическим путем. Производится сравнение полученных практических результатов и теоретических.
Ожидаемые результаты исследования:
1) Программный комплекс, отвечающий всем требованиям, представленным в задании на дипломную работу, представляющий собой удобный инструмент для исследования сходимости числовых рядов.
2) Доказательство аппроксимирующих функций.
3) Итоговые результаты в виде графиков.
Результаты данной работы могут быть применены для усовершенствования ряда методов, систем и алгоритмов современной криптографии. В частности, функции, которые были рассмотрены в данной работе, обобщают известные формулы Мерсенна используемые для оценки частичных сумм рядов простых чисел, и могут использоваться в криптографии для уточнения сходимости метода Ленстры факторизации целых чисел на основе эллиптических кривых и для оценки криптоустойчивости алгоритма с открытым ключом RSA.
Для получения необходимых результатов были выполнены следующие задачи:
1. Были изучены основные аспекты теории чисел, в том числе теорема Чебышева и формула Эйлера £( s ) = £“= t^, где s - действительное число, которая в дальнейшем была рассмотрена Риманом как функция комплексного переменного £(s) = 2 s7TsS i n—-——тт£( 1 — s ), или дзета-
2 s 1 тс sГ (s) функция.
2. Второй (практический) этап работы заключался в следующем, был разработан программный комплекс, который является удобным инструментом для исследования числовых рядов.
По результатам вычислений программы получены следующие результаты:
• Неравенство Чебышёва является верной оценкой для распределения простых чисел.
• Для всех оценок, которые были получены в результате аппроксимации сумм рядов значения их отношения к значениям вычисленным практическим путем приближены к единицы Si / S2 ~ 1 , что свидетельствует о том, что аппроксимирующие функции выведены верно.
• Для функции Чебышёва L± = Хр<х2 пР экспериментальным путем была
выедена аппроксимирующая функция L2 = х — fx — С ■ ^Х , при
С= 1, которая с допустимой погрешностью вычисляет значение данной функции.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
