Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения многочисленных задач, возникающих в различных практических областях - механике, физике и т.д. Многие такие задачи описываются уравнениями и неравенствами с частными производными [1,2]. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения [6]. Поскольку возникающие задачи, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы, основанные на конечномерных аппроксимакциях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей [3,4,5]. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств.
Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, таких как нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом.
Работа посвящена исследованию нелинейных стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом [7]. Класс таких задач описывается математически с помощью уравнений с вырождающимся монотонными и псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах.
Математически рассматриваемые в работе задачи формируются в виде уравнений с операторами монотонного типа.
В данной работе приводится постановка стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации с предельным градиентом в ограниченной области. Эта задача ставится в виде вариационного уравнения. Предполагается, что функция, определяющая закон фильтрации, имеет линейный рост на бесконечности. В нашем случае на ограниченной области Q имеются результаты о существовании обобщенных решений стационарных задач с законом фильтрации, задаваемым функцией, имеющей степенной (в том числе и линейный) рост на бесконечности. При этом обобщенные задачи формулируются в виде уравнений с оператором, действующим в случае линейного роста из Соболевского пространства V = W 21 Ш) в сопряженное с ним, и соответственно рассматривается ситуация, когда функция, описывающая плотность внешних источников, определяет линейный непрерывный функционал на V.
Нами проводится исследование нелинейных задач фильтрации с менее гладкой правой частью: в двумерном случае дельта-функция, моделирующая точечный источник, не принадлежит пространству, сопряженному с V.
Численные эксперименты произведены в системе MatLab [9]. При оформлении работы была использована система LaTex [10].
В работе рассматривается нелинейная стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом. Проведено решение задачи. Предварительно построены конечно-разностные апроксимации. Для решения применен двухслойный процесс с разностным оператором Лапласа в качестве предобуславливателя. Составлена и отлажена программа с помощью пакета Mat Lab. Проведены численные эксперименты. Выводились застойные зоны (там, где |Vu| <3). Сделан анализ по полученным результатам.
