СООТНОШЕНИЕ КОШИ МЕЖДУ МОДУЛЯМИ УПРУГОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПРИ УЧЁТЕ ТРЁХАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Связь макроскопических эластических характеристик кристаллов с симметрией взаимодействий между атомами 6
Глава 2. Соотношения Коши при учёте парных и трёхатомных взаимодействий 8
РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ 12
1. Выводы частных случаев потенциала межатомного взаимодействия ... 12
1.1. Двухчастичное взаимодействие 13
1.2. Трёхчастичное взаимодействие 14
2. Вывод общего случая потенциала тройного взаимодействия 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 28
ПРИЛОЖЕНИЕ
Глава 1. Связь макроскопических эластических характеристик кристаллов с симметрией взаимодействий между атомами 6
Глава 2. Соотношения Коши при учёте парных и трёхатомных взаимодействий 8
РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ 12
1. Выводы частных случаев потенциала межатомного взаимодействия ... 12
1.1. Двухчастичное взаимодействие 13
1.2. Трёхчастичное взаимодействие 14
2. Вывод общего случая потенциала тройного взаимодействия 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 28
ПРИЛОЖЕНИЕ
Важнейшими характеристиками кристаллов, с точки зрения возможного их использования, являются модули упругости, как второго, так и более высоких порядков. Измерение модулей упругости высокого порядка процесс достаточно трудоёмкий. Поэтому разработка моделей, позволяющих адекватно описывать и предсказывать нелинейные механические свойства металлов, приобретает всё большее значение. Наиболее проблематичным при построении микроскопической теории эластических характеристик кристаллов является выбор модели потенциала межатомных взаимодействий [1]. Существует уверенность, что потенциалы взаимодействий между атомами, в принципе могут быть вычислены в рамках квантово¬механических моделей. Однако, известно, что даже в кластерах с малым числом атомов, кроме случая двух атомов водорода [2], потенциалы взаимодействия не поддаются точному вычислению даже в адиабатическом приближении [3]. Поэтому на практике используются десятки разных эффективных потенциалов взаимодействия между атомами, которые подбираются на основе правдоподобных полуэмпирических соображений [4]. В большинстве работ по микроскопической теории модулей упругости используются потенциалы, учитывающие, только парные (центральные) взаимодействия [1,4].
Хорошо известно, что учёта потенциалов парных взаимодействия недостаточно для построения даже линейной теории упругости кристаллов [5]. Так, учёт в теории только парных взаимодействий с необходимостью приводит к ряду ошибочных утверждений, относительно макроскопических характеристик кристаллов, таких как поверхностная энергия, энергия вакансий, энергия когезии и так далее. Причиной непригодности парных потенциалов для описания свойств конденсированного состояния является тот факт, что взаимодействия между атомами формируются за счёт перекрытия волновых функций электронов и кулоновских взаимодействий электронов и атомных остовов. Плотность вероятности распределения электронов вокруг данного узла кристаллической решётки определяется не только атомом, расположенным на данном узле, но и всеми атомами, составляющими окружение этого узла, то есть расположенных в нескольких ближайших к этому атому координационных сферах. Количественные расчеты показывают, что в металлах существенное влияние на состояние электронного облака атомов оказывают соседи, расположенные даже на расстоянии равном семи расстояниям между ближайшими соседями [5]. Имеется доказательство, что для непротиворечивого описания изменения симметрии при некоторых фазовых переходах типа упорядочения, необходимо учитывать взаимодействия между атомами, как минимум, в 11 координационных сферах [6]. Следовательно, взаимодействия между атомами в конденсированных средах по своей природе зависят от координат большого числа частиц. Поэтому, полная энергия взаимодействия между атомами обычно записывается, в виде суммы энергий взаимодействия мысленно выделенных кластеров, состоящих из пар, троек, четвёрок и/или даже большего количества атомов [5]. При этом предполагается, что в энергию взаимодействия троек атомов включается только слагаемые полной энергии, которые не сводятся к сумме энергий пар атомов, входящих в эту тройку. В энергию взаимодействия четвёрок включается слагаемые, которые не сводятся к взаимодействию пар и троек и т.д. Однако аналитическая зависимость энергии от координат атомов в таком подходе, как и в случае учёта, только парных взаимодействий, по-прежнему остаётся неизвестной.
Для аналитической записи энергии взаимодействия, зависящей от координат более чем пары атомов, в теорию, с эмпирически подобранным парным потенциалом, добавляют ещё несколько достаточно произвольно подобранных функций координат трёх и/или большего количества атомов со своими феноменологическими параметрами [7]. Параметры потенциалов определяются путём сопоставления вычисляемых в теории значений модулей упругости с их значениями, установленными экспериментально. Полученные феноменологические параметры потенциала используются для предсказания остальных модулей упругости. При этом оказывается, что параметры потенциалов, описывающих парные взаимодействия, зависят от предполагаемого вида взаимодействия между тройками атомов, а также существенно изменяются при дальнейших попытках уточнения теории учётом дополнительных слагаемых энергии парных взаимодействий [4].
Положение не изменяется при использовании для расчёта модулей упругости квантово-механических моделей, позволяющих вычислять структуру спектра энергий электронов. Основываясь на знании энергетического спектра (по крайней мере, в принципе) можно рассчитывать механические и термодинамические характеристики, в частности, модули упругости [7]. Однако, во всех моделях, применяемых для расчёта электронных спектров, остаётся та же проблема выбора аналитического вида потенциальной энергии взаимодействия между атомами, что и в классических моделях.
Таким образом, целью данной дипломной работы является выявление линейного соотношения общего вида, которое должно возникать между компонентами тензора модулей упругости третьего порядка, если в теории учитываются только парные и трёхатомные взаимодействия и доказательство того, что это соотношение справедливо для кристаллов произвольной симметрии.
Хорошо известно, что учёта потенциалов парных взаимодействия недостаточно для построения даже линейной теории упругости кристаллов [5]. Так, учёт в теории только парных взаимодействий с необходимостью приводит к ряду ошибочных утверждений, относительно макроскопических характеристик кристаллов, таких как поверхностная энергия, энергия вакансий, энергия когезии и так далее. Причиной непригодности парных потенциалов для описания свойств конденсированного состояния является тот факт, что взаимодействия между атомами формируются за счёт перекрытия волновых функций электронов и кулоновских взаимодействий электронов и атомных остовов. Плотность вероятности распределения электронов вокруг данного узла кристаллической решётки определяется не только атомом, расположенным на данном узле, но и всеми атомами, составляющими окружение этого узла, то есть расположенных в нескольких ближайших к этому атому координационных сферах. Количественные расчеты показывают, что в металлах существенное влияние на состояние электронного облака атомов оказывают соседи, расположенные даже на расстоянии равном семи расстояниям между ближайшими соседями [5]. Имеется доказательство, что для непротиворечивого описания изменения симметрии при некоторых фазовых переходах типа упорядочения, необходимо учитывать взаимодействия между атомами, как минимум, в 11 координационных сферах [6]. Следовательно, взаимодействия между атомами в конденсированных средах по своей природе зависят от координат большого числа частиц. Поэтому, полная энергия взаимодействия между атомами обычно записывается, в виде суммы энергий взаимодействия мысленно выделенных кластеров, состоящих из пар, троек, четвёрок и/или даже большего количества атомов [5]. При этом предполагается, что в энергию взаимодействия троек атомов включается только слагаемые полной энергии, которые не сводятся к сумме энергий пар атомов, входящих в эту тройку. В энергию взаимодействия четвёрок включается слагаемые, которые не сводятся к взаимодействию пар и троек и т.д. Однако аналитическая зависимость энергии от координат атомов в таком подходе, как и в случае учёта, только парных взаимодействий, по-прежнему остаётся неизвестной.
Для аналитической записи энергии взаимодействия, зависящей от координат более чем пары атомов, в теорию, с эмпирически подобранным парным потенциалом, добавляют ещё несколько достаточно произвольно подобранных функций координат трёх и/или большего количества атомов со своими феноменологическими параметрами [7]. Параметры потенциалов определяются путём сопоставления вычисляемых в теории значений модулей упругости с их значениями, установленными экспериментально. Полученные феноменологические параметры потенциала используются для предсказания остальных модулей упругости. При этом оказывается, что параметры потенциалов, описывающих парные взаимодействия, зависят от предполагаемого вида взаимодействия между тройками атомов, а также существенно изменяются при дальнейших попытках уточнения теории учётом дополнительных слагаемых энергии парных взаимодействий [4].
Положение не изменяется при использовании для расчёта модулей упругости квантово-механических моделей, позволяющих вычислять структуру спектра энергий электронов. Основываясь на знании энергетического спектра (по крайней мере, в принципе) можно рассчитывать механические и термодинамические характеристики, в частности, модули упругости [7]. Однако, во всех моделях, применяемых для расчёта электронных спектров, остаётся та же проблема выбора аналитического вида потенциальной энергии взаимодействия между атомами, что и в классических моделях.
Таким образом, целью данной дипломной работы является выявление линейного соотношения общего вида, которое должно возникать между компонентами тензора модулей упругости третьего порядка, если в теории учитываются только парные и трёхатомные взаимодействия и доказательство того, что это соотношение справедливо для кристаллов произвольной симметрии.
Таким образом, нами проведены прямые вычисления компонент тензора модулей упругости третьего порядка в рамках теории учитывающей самый общий вид энергии парных и трёхатомных взаимодействий. Для установления общего вида энергии трёхатомных взаимодействий, как функции межатомных расстояний в кластерах, содержащих тройки атомов, был использован целый рациональный базис инвариантов группы внутренней симметрии этих кластеров. Используя установленный общий вид неприводимой потенциальной энергии взаимодействия троек атомов, путём прямых вычислений, нам удалось доказать, что теория, учитывающая только парные и трёхатомные взаимодействия, приводит к линейным соотношениям между компонентами тензоров модулей упругости третьего порядка:
£123 - (£144 + ^255 + Ёзбб) + 2£456 = 0 (1)
Показано, что установленное нами соотношение, необходимо возникает в теории, пренебрегающей четырёхатомными взаимодействиями , и не зависит от класса симметрии кристалла. Поскольку это соотношение не удовлетворяет ограничениям, налагаемым внутренней симметрией на компоненты модулей упругости третьего порядка, оно может выполняться только случайно при фиксированных внешних условиях для конкретного вещества. В общем случае проявление соотношения (1) отражает неполноту теории.
£123 - (£144 + ^255 + Ёзбб) + 2£456 = 0 (1)
Показано, что установленное нами соотношение, необходимо возникает в теории, пренебрегающей четырёхатомными взаимодействиями , и не зависит от класса симметрии кристалла. Поскольку это соотношение не удовлетворяет ограничениям, налагаемым внутренней симметрией на компоненты модулей упругости третьего порядка, оно может выполняться только случайно при фиксированных внешних условиях для конкретного вещества. В общем случае проявление соотношения (1) отражает неполноту теории.