📄Работа №7487
Тема: Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Тип работы
Диссертации (РГБ)
Предмет
математика
Объем:
355стр. листов
Год:
2004
Просмотров:
1286
470
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
ВВЕДЕНИЕ 11
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 29
1.1. Математическое моделирование линейной фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования 29
1.2. Определения полей главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей в линейных анизотропных моделях периодических сред 38
1.3. Расчёт эффективных тензоров проницаемостей по заданным полям ГНА и главных проницаемостей при линейном режиме фильтрации 40
1.4. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах методами кристаллофизики 43
1.4.1. Векторно-матричная форма обобщённого закона Дарси (ОЗД) нелинейной фильтрации в анизотропных средах 45
1.4.2. Задача построения тензоров заданной симметрии 46
1.4.3. Математические модели нелинейной фильтрации для конкретных примеров анизотропных сред 48
1.5. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н.Нумерова 52
1.6. Пример построения математической модели нелинейной фильтрации в анизотропной среде обобщённым методом С.Н. Нумерова .... 56 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В
АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 62
2.1. Уравнения неразрывности для пространственных, двумерных и плоскопараллельных и фильтрационных потоков жидкости 62
2.1.1 Уравнение неразрывности для трёхмерного пространственного фильтрационного течения 62
3
2.1.2 Уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных течений сжимаемой и несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины 63
2.1.3 Уравнение неразрывности для двумерных течений несжимаемой жидкости в теории О.В. Голубевой 65
2.1.4 Уравнение неразрывности для плоскопараллельного фильтрационного течения. Функция тока плоскопараллельного течения 66
2.2. Уравнения линейной двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в анизотропных искривлённых слоях переменной толщины 67
2.2.1. Вывод уравнений двумерной фильтрации в ортогональных криволинейных системах координат общего вида 68
2.2.2. Расчёт коэффициентов проводимости для двумерной фильтрации в анизотропных искривлённых слоях постоянной конечной толщины 74
Пример 1. Слои вращения 75
Пример 2. Цилиндрические слои постоянной толщины 76
2.3. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-неоднородных средах и их связь
с обобщёнными аналитическими функциями комплексного переменного.... 78
2.4. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-однородных средах и их связь с аналитическими функциями комплексного переменного 80
2.5. Комплексные потенциалы плоскопараллельных фильтрационных течений в анизотропно-однородных средах со специальными законами распределения ГНА 82
2.5.1. Теорема о комплексном потенциале для специальной серии законов распределения ГНА 82
2.5.2. Следствие 1. Конгруэнтные законы распределения ГНА 83
4
2.5.3. Следствие 2. Центрально-симметричные законы распределения ГНА 84
2.5.4. Следствие 3. Изотермические законы распределения ГНА 85
2.5.5 Типичные граничные условия для комплексных потенциалов
плоскопараллельных течений в анизотропных средах 87
2.6. Комплексные потенциалы плоскопараллельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией при произвольной
ориентации ГНА 87
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ 92
3.1. Исследования точности расчётов дебита центральной скважины в слоистой круговой области методом анизотропного эквивалентирования.... 92
3.1.1. Обобщение формулы Дюпюи для сред с центрально¬симметричными законами распределения ГНА 93
3.1.2. Постановка задачи и численные расчёты дебита центральной скважины в круговых анизотропных пластах 94
3.1.3. Исследования точности методов интегрального и локального однородно-анизотропного эквивалентирования в расчётах дебита центральной скважины в слоистой среде 101
3.2. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред 104
3.2.1. Теорема об окружности 105
3.2.2. Теорема о прямой 107
3.2.3. Примеры применения теорем 108
3.3. Искажение поступательного фильтрационного потока в изотропной среде круглым включением с прямолинейной анизотропией 111
3.4. Исследования точности аппроксимации включений из слоистых сред их анизотропными моделями 114
5
3.4.1. Искажение плоскопараллельных течений круглым слоистым включением 115
3.4.2. Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и в её радиально-анизотропной модели 117
3.4.3. Расчёт коэффициентов разложения для комплексных потенциалов изотропных колец 120
3.5. Исследование точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования 122
3.5.1. Расчёт полного фильтрационного потока в прямоугольной анизотропной области 123
3.5.2. Расчёт фильтрационного потока в слоистой области 126
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС) 131
4.1. Причины выделения исследования течений в призабойных зонах скважин в самостоятельный раздел теории фильтрации 131
4.2. Влияние неопределённости в критериях существования линейного режима фильтрации на погрешность в расчётах дебитов скважин 133
4.3. Исследование фильтрации в призабойной зоне и в стволе нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром 139
4.3.1. Постановка задачи 139
4.3.2. Вывод основных уравнений 139
4.3.3. Анализ работы гравийного фильтра при при линейном режиме фильтрации 145
4.3.4. Выводы: 149
4.4. Точное решение задачи фильтрации к скважине с гравийным фильтром при линейном законе Дарси 150
4.4.1. Постановка задачи 150
4.4.2. Уравнения и граничные условия 151
4.4.3. Расчет потенциала (pi(r,z) 153
4.4.4. Расчет потенциала (p2(r,z) 155
6
4.4.5. Алгебраизация граничных условий сопряжения 156
4.4.6. Вычисление дебита скважины 158
4.5. Математическая модель работы фильтра каркасно-стержневой конструкции 162
4.6. Математическая модель работы фильтра кольчатой конструкции 165
4.7. Математическая модель работы фильтра перфорационной конструкции 167
4.8. Выводы из вычислительных экспериментов по исследованию работы фильтров нефтедобывающих скважин 169
4.9. Теорема о подобии фильтрационных полей в грунтах со специальными законами изменения проницаемости и её применения 170
4.9.1 Теорема о подобии фильтрационных полей 170
4.9.2. Фильтрация под плоским флютбетом в кусочно-однородном грунте 172
4.9.3 Фильтрация к скважинам с кусочно - однородной призабойной зоной (1-ый способ расчета) 173
4.9.4 Фильтрация к скважинам с кусочно - однородной призабойной зоной. (2-ой способ расчета) 176
4.10. Математическое моделирование фильтрации к скважине с вертикальными трещинами гидроразрыва 181
4.11. Математическое моделирование фильтрации к скважине с
горизонтальными трещинами гидроразрыва 186
ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ
ФИЛЬТРАЦИИ 193
5.1. Расчёт дебита и поля давления для одиночной скважины 193
5.1.1. Методом функций Грина 193
7
5.1.2. Построение серий точных решений полуобратных граничных задач о дебите круговой скважины в однородных
изотропных средах в постановке для двухсвязных областей 196
5.2 Применение вариационных методов для расчёта двусторонних оценок дебитов одиночных скважин в анизотропных средах при линейном режиме фильтрации 202
5.2.1. Метод пробных эквипотенциалей 203
5.2.2. Метод пробных линий тока 205
5.3. Расчёт двусторонних оценок дебитов скважин при нелинейных режимах фильтрации 208
5.3.1. Уравнения движения и граничные условия 208
5.3.2. Вариационная формулировка краевых задач 210
5.3.3. Верхняя оценка дебита скважины 213
5.3.4. Нижняя оценка дебита скважины 214
5.3.5. Дебит скважины в пласте овальной формы 216
5.4. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин (многоскважинная система без учёта ПЗС) 218
5.4.1 Постановка задачи и общий метод решения 219
5.4.2 Интерференция скважин, эксплуатирующих однородный круговой пласт 221
5.4.3 Вычислительные эксперименты по интерференции скважин, произвольно расположенных в изотропном однородном пласте круговой формы 222
5.5. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин обладающих индивидуальными фильтрационными свойствами в призабойных зонах (многоскважинная система с учётом индивидуальных свойств ПЗС) 225
5.5.1 Постановка задачи учёта особых фильтрационных свойств ПЗС и общий метод её решения 225
5.5.2 Пример. Влияние скачков проницаемости ПЗС на интерференцию скважин, произвольно расположенных в
8
однородном пласте круговой формы. Обобщение формулы
Щелкачева В.Н. 227
5.6. Интерференция скважин с нелинейным режимом фильтрации в
призабойных зонах 230
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ 233
6.1. Постановка задачи и принятые обозначения 233
6.2. Граничные условия 1-го типа (Дирихле по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные — по другой паре) 235
6.3. Передаточные функции. Переход к модельной задаче 236
6.4. Формулировка граничных условий в модельной задаче 238
6.5. Представление решений w;(x,y) рядами Фурье 239
6.6. Алгебраизация граничных условий в модельной задаче 241
6.7. Вычисление коэффициентов в рядах Фурье методом прогонки 243
6.8. Применения развитой теории 245
6.8.1 Метод интегрального эквивалентирования кусочно¬неоднородных сред. Однородно-анизотропное эквивалентирование... 246
6.8.2 Расчёт полей в изотропных неоднородных средах методом многослойного эквивалентирования 251
6.9 Граничные условия 2-го типа (Неймана по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные по другой паре) ... 257
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 267
ЛИТЕРАТУРА 268
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И
ТЕНЗОРОВ 294
П1.1 Закон преобразования базисов 294
П1.2 Закон преобразования координат векторов 297
9
П1.3 Закон ортогонального преобразования координат тензора 2-го
ранга 298
П1.4 Законы ортогонального преобразования координат тензоров
третьего и четвёртого рангов 300
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ
ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА 304
П2.1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом
распределения ГНА 304
П2.2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим
законом распределения ГНА 305
П2.3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом
распределения ГНА 307
П2.4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами
распределения ГНА 309
П2.4.1 Общий случай задания цилиндрических законов
распределения ГНА 309
П2.4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с
координатной осью (осью Ох) 313
РИСУНКИ 317
10
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 29
1.1. Математическое моделирование линейной фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования 29
1.2. Определения полей главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей в линейных анизотропных моделях периодических сред 38
1.3. Расчёт эффективных тензоров проницаемостей по заданным полям ГНА и главных проницаемостей при линейном режиме фильтрации 40
1.4. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах методами кристаллофизики 43
1.4.1. Векторно-матричная форма обобщённого закона Дарси (ОЗД) нелинейной фильтрации в анизотропных средах 45
1.4.2. Задача построения тензоров заданной симметрии 46
1.4.3. Математические модели нелинейной фильтрации для конкретных примеров анизотропных сред 48
1.5. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н.Нумерова 52
1.6. Пример построения математической модели нелинейной фильтрации в анизотропной среде обобщённым методом С.Н. Нумерова .... 56 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В
АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ 62
2.1. Уравнения неразрывности для пространственных, двумерных и плоскопараллельных и фильтрационных потоков жидкости 62
2.1.1 Уравнение неразрывности для трёхмерного пространственного фильтрационного течения 62
3
2.1.2 Уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных течений сжимаемой и несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины 63
2.1.3 Уравнение неразрывности для двумерных течений несжимаемой жидкости в теории О.В. Голубевой 65
2.1.4 Уравнение неразрывности для плоскопараллельного фильтрационного течения. Функция тока плоскопараллельного течения 66
2.2. Уравнения линейной двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в анизотропных искривлённых слоях переменной толщины 67
2.2.1. Вывод уравнений двумерной фильтрации в ортогональных криволинейных системах координат общего вида 68
2.2.2. Расчёт коэффициентов проводимости для двумерной фильтрации в анизотропных искривлённых слоях постоянной конечной толщины 74
Пример 1. Слои вращения 75
Пример 2. Цилиндрические слои постоянной толщины 76
2.3. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-неоднородных средах и их связь
с обобщёнными аналитическими функциями комплексного переменного.... 78
2.4. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-однородных средах и их связь с аналитическими функциями комплексного переменного 80
2.5. Комплексные потенциалы плоскопараллельных фильтрационных течений в анизотропно-однородных средах со специальными законами распределения ГНА 82
2.5.1. Теорема о комплексном потенциале для специальной серии законов распределения ГНА 82
2.5.2. Следствие 1. Конгруэнтные законы распределения ГНА 83
4
2.5.3. Следствие 2. Центрально-симметричные законы распределения ГНА 84
2.5.4. Следствие 3. Изотермические законы распределения ГНА 85
2.5.5 Типичные граничные условия для комплексных потенциалов
плоскопараллельных течений в анизотропных средах 87
2.6. Комплексные потенциалы плоскопараллельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией при произвольной
ориентации ГНА 87
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ 92
3.1. Исследования точности расчётов дебита центральной скважины в слоистой круговой области методом анизотропного эквивалентирования.... 92
3.1.1. Обобщение формулы Дюпюи для сред с центрально¬симметричными законами распределения ГНА 93
3.1.2. Постановка задачи и численные расчёты дебита центральной скважины в круговых анизотропных пластах 94
3.1.3. Исследования точности методов интегрального и локального однородно-анизотропного эквивалентирования в расчётах дебита центральной скважины в слоистой среде 101
3.2. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред 104
3.2.1. Теорема об окружности 105
3.2.2. Теорема о прямой 107
3.2.3. Примеры применения теорем 108
3.3. Искажение поступательного фильтрационного потока в изотропной среде круглым включением с прямолинейной анизотропией 111
3.4. Исследования точности аппроксимации включений из слоистых сред их анизотропными моделями 114
5
3.4.1. Искажение плоскопараллельных течений круглым слоистым включением 115
3.4.2. Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и в её радиально-анизотропной модели 117
3.4.3. Расчёт коэффициентов разложения для комплексных потенциалов изотропных колец 120
3.5. Исследование точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования 122
3.5.1. Расчёт полного фильтрационного потока в прямоугольной анизотропной области 123
3.5.2. Расчёт фильтрационного потока в слоистой области 126
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС) 131
4.1. Причины выделения исследования течений в призабойных зонах скважин в самостоятельный раздел теории фильтрации 131
4.2. Влияние неопределённости в критериях существования линейного режима фильтрации на погрешность в расчётах дебитов скважин 133
4.3. Исследование фильтрации в призабойной зоне и в стволе нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром 139
4.3.1. Постановка задачи 139
4.3.2. Вывод основных уравнений 139
4.3.3. Анализ работы гравийного фильтра при при линейном режиме фильтрации 145
4.3.4. Выводы: 149
4.4. Точное решение задачи фильтрации к скважине с гравийным фильтром при линейном законе Дарси 150
4.4.1. Постановка задачи 150
4.4.2. Уравнения и граничные условия 151
4.4.3. Расчет потенциала (pi(r,z) 153
4.4.4. Расчет потенциала (p2(r,z) 155
6
4.4.5. Алгебраизация граничных условий сопряжения 156
4.4.6. Вычисление дебита скважины 158
4.5. Математическая модель работы фильтра каркасно-стержневой конструкции 162
4.6. Математическая модель работы фильтра кольчатой конструкции 165
4.7. Математическая модель работы фильтра перфорационной конструкции 167
4.8. Выводы из вычислительных экспериментов по исследованию работы фильтров нефтедобывающих скважин 169
4.9. Теорема о подобии фильтрационных полей в грунтах со специальными законами изменения проницаемости и её применения 170
4.9.1 Теорема о подобии фильтрационных полей 170
4.9.2. Фильтрация под плоским флютбетом в кусочно-однородном грунте 172
4.9.3 Фильтрация к скважинам с кусочно - однородной призабойной зоной (1-ый способ расчета) 173
4.9.4 Фильтрация к скважинам с кусочно - однородной призабойной зоной. (2-ой способ расчета) 176
4.10. Математическое моделирование фильтрации к скважине с вертикальными трещинами гидроразрыва 181
4.11. Математическое моделирование фильтрации к скважине с
горизонтальными трещинами гидроразрыва 186
ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ
ФИЛЬТРАЦИИ 193
5.1. Расчёт дебита и поля давления для одиночной скважины 193
5.1.1. Методом функций Грина 193
7
5.1.2. Построение серий точных решений полуобратных граничных задач о дебите круговой скважины в однородных
изотропных средах в постановке для двухсвязных областей 196
5.2 Применение вариационных методов для расчёта двусторонних оценок дебитов одиночных скважин в анизотропных средах при линейном режиме фильтрации 202
5.2.1. Метод пробных эквипотенциалей 203
5.2.2. Метод пробных линий тока 205
5.3. Расчёт двусторонних оценок дебитов скважин при нелинейных режимах фильтрации 208
5.3.1. Уравнения движения и граничные условия 208
5.3.2. Вариационная формулировка краевых задач 210
5.3.3. Верхняя оценка дебита скважины 213
5.3.4. Нижняя оценка дебита скважины 214
5.3.5. Дебит скважины в пласте овальной формы 216
5.4. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин (многоскважинная система без учёта ПЗС) 218
5.4.1 Постановка задачи и общий метод решения 219
5.4.2 Интерференция скважин, эксплуатирующих однородный круговой пласт 221
5.4.3 Вычислительные эксперименты по интерференции скважин, произвольно расположенных в изотропном однородном пласте круговой формы 222
5.5. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин обладающих индивидуальными фильтрационными свойствами в призабойных зонах (многоскважинная система с учётом индивидуальных свойств ПЗС) 225
5.5.1 Постановка задачи учёта особых фильтрационных свойств ПЗС и общий метод её решения 225
5.5.2 Пример. Влияние скачков проницаемости ПЗС на интерференцию скважин, произвольно расположенных в
8
однородном пласте круговой формы. Обобщение формулы
Щелкачева В.Н. 227
5.6. Интерференция скважин с нелинейным режимом фильтрации в
призабойных зонах 230
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ 233
6.1. Постановка задачи и принятые обозначения 233
6.2. Граничные условия 1-го типа (Дирихле по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные — по другой паре) 235
6.3. Передаточные функции. Переход к модельной задаче 236
6.4. Формулировка граничных условий в модельной задаче 238
6.5. Представление решений w;(x,y) рядами Фурье 239
6.6. Алгебраизация граничных условий в модельной задаче 241
6.7. Вычисление коэффициентов в рядах Фурье методом прогонки 243
6.8. Применения развитой теории 245
6.8.1 Метод интегрального эквивалентирования кусочно¬неоднородных сред. Однородно-анизотропное эквивалентирование... 246
6.8.2 Расчёт полей в изотропных неоднородных средах методом многослойного эквивалентирования 251
6.9 Граничные условия 2-го типа (Неймана по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные по другой паре) ... 257
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 267
ЛИТЕРАТУРА 268
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И
ТЕНЗОРОВ 294
П1.1 Закон преобразования базисов 294
П1.2 Закон преобразования координат векторов 297
9
П1.3 Закон ортогонального преобразования координат тензора 2-го
ранга 298
П1.4 Законы ортогонального преобразования координат тензоров
третьего и четвёртого рангов 300
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ
ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА 304
П2.1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом
распределения ГНА 304
П2.2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим
законом распределения ГНА 305
П2.3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом
распределения ГНА 307
П2.4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами
распределения ГНА 309
П2.4.1 Общий случай задания цилиндрических законов
распределения ГНА 309
П2.4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с
координатной осью (осью Ох) 313
РИСУНКИ 317
10
📖 Введение
Актуальность темы и обзор литературы. Целый ряд актуальных проблем государственного значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким проблемам относятся: водоснабжение; добыча энергетического сырья (нефти и газа); проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и гидромелиоративных сооружений; борьба с загрязнением и засолением грунтовыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких проблем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.
Процессы фильтрации нефти, газа, воды происходят в пористых средах, которые в зависимости от своих физико-механических свойств относятся к группе изотропных или анизотропных грунтов. Изотропными называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке одинаковы по всем направлениям. Анизотропными же называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке различны в разных направлениях.
Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только изотропные или анизотропные и однородные или неоднородные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину.
Именно поэтому теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах являются актуальными.
Поскольку аналитические методы исследования фильтрации существен¬но зависят от типа пористой среды, то литературный обзор уместно провести по типам пористых сред: изотропным, анизотропным, кусочно-непрерывным, в частности, кусочно-постоянным и др.
Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах служит теория р-аналитических функций, которая была развита в работах Л. Берса,
А. Гельбарта, М.А. Лаврентьева, И.Н. Векуа, Г.Н. Положего и др. в [28, 234, 235]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осесимметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [41, 118]. С помощью методов теории p-аналитических функций описывается
также нелинейная фильтрация с законом вида ^(v) V = Уф, которая в плоскости
v
годографа вектора V приводится к системе линейных уравнений Г.Н. Положего [108].
Другой путь изучения двумерной фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость k, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполи) особых точек с помощью метода перехода [32, 34, 127, 143, 155, 193]. В работах [23, 32, 34, 100, 101, 104, 155, 254] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей к(у) вида еау, уа, tgaby, thaby, lgaby и др. В [35, 224, 225] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью k, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям.
В целом теория р-аналитических функций из-за громоздкости своего аппарата не получила такого же широкого, как аналитические функции, применения. К тому же функции изменения проницаемости k, для которых известны решения соответствующих уравнений двумерной фильтрации, как правило, неограниченно возрастают до бесконечности (или убывают до нуля), что затрудняет их применение для аппроксимации проницаемости естественных грунтов.
Для расширения возможностей аппроксимации проницаемости реальных грунтов в теории фильтрации стали разрабатываться методы построения особых точек течений в средах с кусочно-непрерывными, в частности, с кусочно¬постоянными функциями проницаемости. Это привело к необходимости решения задач сопряжения для эллиптических уравнений. Сложность решения задач сопряжения существенно зависит от числа неоднородных зон (слоёв), формы их границ, вида функции проницаемости в этих зонах и от характера особых точек течений в зонах.
На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. П.Я. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Заслуживает внимания и работа М.А. Лукомской [83], в которой по существу впервые была представлена модель работы скважины, учитывающая индивидуальные фильтрационные свойства призабойной зоны, отличающиеся от свойств пласта. Для двух однородных изотропных зон, разделенных или окружностью или прямой,
О.В. Голубевой в [41, 42] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [69, 71, 75] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [116, 231] В.М. Радыгиным и А.Г. Ярмицким с помощью дробно¬линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О.В. Голубевой и
А.Я. Шпилевым в [46] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях. М.Ф. Бариновой в [9] методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [74] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к многократным рядам (с кратностью равной числу зон) и к сложной системе уравнений, оставленной без исследования.
Процессы фильтрации нефти, газа, воды происходят в пористых средах, которые в зависимости от своих физико-механических свойств относятся к группе изотропных или анизотропных грунтов. Изотропными называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке одинаковы по всем направлениям. Анизотропными же называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке различны в разных направлениях.
Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только изотропные или анизотропные и однородные или неоднородные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину.
Именно поэтому теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах являются актуальными.
Поскольку аналитические методы исследования фильтрации существен¬но зависят от типа пористой среды, то литературный обзор уместно провести по типам пористых сред: изотропным, анизотропным, кусочно-непрерывным, в частности, кусочно-постоянным и др.
Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах служит теория р-аналитических функций, которая была развита в работах Л. Берса,
А. Гельбарта, М.А. Лаврентьева, И.Н. Векуа, Г.Н. Положего и др. в [28, 234, 235]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осесимметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [41, 118]. С помощью методов теории p-аналитических функций описывается
также нелинейная фильтрация с законом вида ^(v) V = Уф, которая в плоскости
v
годографа вектора V приводится к системе линейных уравнений Г.Н. Положего [108].
Другой путь изучения двумерной фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость k, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполи) особых точек с помощью метода перехода [32, 34, 127, 143, 155, 193]. В работах [23, 32, 34, 100, 101, 104, 155, 254] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей к(у) вида еау, уа, tgaby, thaby, lgaby и др. В [35, 224, 225] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью k, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям.
В целом теория р-аналитических функций из-за громоздкости своего аппарата не получила такого же широкого, как аналитические функции, применения. К тому же функции изменения проницаемости k, для которых известны решения соответствующих уравнений двумерной фильтрации, как правило, неограниченно возрастают до бесконечности (или убывают до нуля), что затрудняет их применение для аппроксимации проницаемости естественных грунтов.
Для расширения возможностей аппроксимации проницаемости реальных грунтов в теории фильтрации стали разрабатываться методы построения особых точек течений в средах с кусочно-непрерывными, в частности, с кусочно¬постоянными функциями проницаемости. Это привело к необходимости решения задач сопряжения для эллиптических уравнений. Сложность решения задач сопряжения существенно зависит от числа неоднородных зон (слоёв), формы их границ, вида функции проницаемости в этих зонах и от характера особых точек течений в зонах.
На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. П.Я. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Заслуживает внимания и работа М.А. Лукомской [83], в которой по существу впервые была представлена модель работы скважины, учитывающая индивидуальные фильтрационные свойства призабойной зоны, отличающиеся от свойств пласта. Для двух однородных изотропных зон, разделенных или окружностью или прямой,
О.В. Голубевой в [41, 42] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [69, 71, 75] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [116, 231] В.М. Радыгиным и А.Г. Ярмицким с помощью дробно¬линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О.В. Голубевой и
А.Я. Шпилевым в [46] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях. М.Ф. Бариновой в [9] методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [74] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к многократным рядам (с кратностью равной числу зон) и к сложной системе уравнений, оставленной без исследования.
✅ Заключение
В диссертации на основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных средах.
Основные результаты работы, полученные лично автором
1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей для тех анизотропных сред, у которых главные направления анизотропии известны априори (к таким относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины.
3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.
4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.
5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром.
6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.
7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат.
Основные результаты работы, полученные лично автором
1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей для тех анизотропных сред, у которых главные направления анизотропии известны априори (к таким относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины.
3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.
4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам.
5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром.
6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.
7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🛒 Оформить заказ
📩 Работу высылаем в течении 24 часов после оплаты.