ВВЕДЕНИЕ 5
1 Постановка задачи 7
1.1 Уравнение Рейнольдса 8
1.2 Уравнение энергии в смазочном слое 11
1.3 Уравнение энергии в упорном диске 14
1.4 Уравнение энергии в подушке 15
2 Приведение задачи к безразмерному виду 17
2.1 Замена переменных 17
2.2 Процедура замены переменных 20
2.2.1 Коэффициенты в уравнениях и скорости 20
2.2.2 Уравнение Рейнольдса 23
2.2.3 Уравнение неразрывности 26
2.2.4 Уравнение энергии в смазочном слое 27
2.2.5 Уравнение энергии в упорном диске 31
2.2.6 Уравнение энергии в подушке 33
3 Построение сеточных аппроксимаций уравнений и мето¬ды их решения 36
3.1 Построение расчётных областей 36
3.2 Построение разностной схемы методом сумматорных тож¬
деств для уравнения Рейнольдса 36
3.3 Уравнение энергии в смазочном слое 43
3.3.1 Вспомогательные обозначения 43
3.3.2 Пространства конечно-элементных функций .... 44
3.3.3 Построение сеточной схемы разрывного метода Га-
лёркина 44
3.4 Уравнение энергии в упорном диске 50
3.4.1 Триангуляция упорного диска 50
3.4.2 Пространства конечно-элементных функций .... 51
3.4.3 Построение схемы МКЭ для уравнения теплопро¬
водности в диске 51
3.5 Уравнение энергии в подушке 54
3.5.1 Триангуляция подушки 54
3.5.2 Пространства конечно-элементных функций .... 54
3.5.3 Построение схемы МКЭ для уравнения теплопрово¬
дности в подушке 54
3.6 Метод декомпозиции 57
4 Численные эксперименты 59
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 75
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 76
ПРИЛОЖЕНИЯ 79
Работа посвящена построению сеточных алгоритмов решения нестационарных уравнений в частных производных второго порядка, которые возникают при моделировании задач гидродинамической теории смазки упорных подшипников.
Описание течения смазки в смазочном слое упорного подшипника математически описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. В настоящей работе используются модели течения смазки в подшипниках, предложенные казанскими математиками Соколовым, Хадиевым и Максимовым [1], [2].
Подобные задачи решались, в основном в двумерной поставке. Здесь следует отметить работы Федотова, Даутова и Хадиева [3] - [6]. В них предлагались методы решения задач для различной геометрии и типов подушке подшипников. В настоящей работе рассматриваются методы решения двумерно-трехмерной задачи, описывающей течение смазки.
Упорные подшипники, используемые в компрессорах, имеют неподвижные подушки и вращающийся диск, между которыми протекает смазка. В работе решается уравнение Рейнольдса, характеризующее распределение давления и нестационарное уравнение энергии, описывающее теплопередачу в подушке, диске и смазочном слое. Уравнение Рейнольдса в смазочном слое является двумерным, в то время как уравнение энергии является трёхмерным нелинейным и выполняется в смазочном слое переменной толщины.
Для уравнений в каждой из областей ставятся граничные задачи. Для них строятся сеточные схемы методами сумматорных тождеств и МКЭ [7] - [П]. Для решения уравнения энергии с доминирующей конвекцией построена схема рахрывного метода Галёркина. Способ построения таких схем приведён в [12]. Для учёта теплообмена между областями строится итерационный метод на основе метода Лионса декомпозиции областей [13]. Предложены прямые и итерационные методы решения се¬точных уравнений.
Для решения построенных сеточных схем создан комплекс программ [14], с помощью которых проведены численные исследования, демонстрирующие эффективность используемых методов. Также они позволяют сделать выводы о сходимости схемы разрывного метода Галёркина со скоростью выше линейной на последовательности сеток [15] - [19]. Про¬грамма сборки и решения систем уравнений реализованы на языке C++. Для работы с разреженными матрицами используется средства библиотеки классов Eigen с открытым исходным кодом [20]. Построенный комплекс программ позволяет производить моделирование упорного подшипника, используемого в компрессорах, с необходимой точностью, при различных геометрических и физических параметрах.
В работе проведено построение сеточных алгоритмов решения нестационарных уравнений в частных производных второго порядка, которые возникают при моделировании задач гидродинамической теории смазки упорных подшипников. Для уравнения Рейнольдса была построена сеточная схема методом сумматорных тождеств. Описывающее теплопередачу в подушке и диске уравнение энергии, было сведено к решению систем линейных уравнений методом конечных элементов. В смазочном слое была построена сеточная схема схема разрывным методом Галёрки- на, вычислительная состоятельность которой была подтверждена численными экспериментами. Для построения единого решения в расчёт¬ной области был построен метод декомпозиции областей, обеспечевший непрерывность и гладкость решения на разделах твердых областей и смазочного слоя подшипника. При построении матриц использовались разреженные матрицы библиотеки классов Eigen. Для решения систем уравнений использовались построенные в работе методы, а так же метод верхней релаксации, LU и LLT. Численные эксперименты показа¬ли, что построенный комплекс программ может быть использован для исследования поведения подшипника при его различных физических и геометрических параметрах.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
