Введение 4
1. Предварительные сведения 6
1.1. Определения аттракторов 6
1.2. Основные определения в классической теории
устойчивости движения 9
2. Взаимоотношения между основными понятиями
устойчивости 13
3. Чувствительность траекторий к начальным данным
и основные понятия неустойчивости 19
4. Сведение задачи к исследованию нулевого решения 26
Заключение 27
Список литературы 28
Основоположникам геометрической (качественной) теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения А. Пуанкаре [8, 9], Н. Е. Жуковскому [5], А. М. Ляпунову [1, 6], Дж. Биркгофу[7] принадлежат методы исследования и фундаментальные результаты, положившие начало дальнейшему развитию в России и за рубежом.
В то время как теория устойчивости Ляпунова достигла высокого уровня развития, теория прочности Жуковского не получила должного развития и многие вопросы в ней оказались открытыми.
Кроме вопроса о структуре аттракторов, интенсивному изучению был подвергнут вопрос о зависимости аттракторов от возмущения системы. Считается, что определяющим свойством странного аттрактора является чувствительность его траекторий по отношению к начальным данным. В этой работе эти проблемы рассматриваются с точки зрения классической теории устойчивости движения.
Многие известные исследователи предполагают, что такая чувствительность по отношению к начальным данным адекватна неустойчивости по Ляпунову [2, 3]. Однако это справедливо только для дискретных динамических систем. Для непрерывных систем необходимо вспомнить понятие неустойчивости по Жуковскому. Один из основателей современной аэродинамики, выдающийся русский учёный Николай Егорович ^Жуковский ввёл своё понятие устойчивости движения в 1882 году [4, 5], на десять лет раньше публикации исследований А. М. Ляпунова (1892 год [1]). Понятие неустойчивости по ^Жуковскому адекватно для чувствительности траекторий по отношению к начальным данным для непрерывных динамических систем.
Текст данной работы организован следующим образом. В первом разделе вводятся такие понятия, как динамическая система и аттрактор, даётся классификация аттракторов, а также описаны необходимые определения классической теории устойчивости, такие как устойчивость по Ляпунову, по Красовскому, асимптотическая и экспоненциальная устойчивость, устойчивость траекторий по Жуковскому и по Пуанкаре. В следующих двух разделах представлены обязательные теоремы, демонстрирующие связь основных понятий, описанных в предыдущем разделе, и приведены примеры, имеющие различные характеристики по основным понятиям классической теории устойчивости. В последнем разделе описан основной метод, используемый при исследовании устойчивости (или неустойчивости) траекторий системы.
В этой работе были приведены основные определения устойчивости, и рассмотрена взаимосвязь основных понятий теории устойчивости и неустойчивости, а также показана чувствительность траекторий к начальным данным. Для неё наиболее адекватны неустойчивость по (Жуковскому (в непрерывном случае) и неустойчивость по Ляпунову (для дискретных динамических систем).
