Введение 7
1. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с
конвенцией 18
1.1. Первая краевая задача для стационарного нагруженного уравнения
дифузии 18
1.2. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость 19
1.3. Первая краевая задача для нагруженного стационарного уравнения .. 21
1.4. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость 25
1.5. Третья краевая задача для нагруженного стационарного уравнения .... 27
1.6. Построение разностной схемы. Устойчивости и сходимости 28
1.7. Первая краевая задача для нагруженного уравнения 32
1.8. Разностные схемы. Устойчивость и сходимость 34
1.9. Нелокальная краевая задача первого рода 36
1.10. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость 41
1.11. Нелокальная краевая задача второго рода 42
1.12. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость 43
2. Обзор объектно-ориентированного языка программирования C# 44
2.1. История развития языка программирования C# 44
2.2. Основные возможности языка C# 45
2.3. Структура программы на языке C# 47
2.4. Сопоставления типов-значений и ссылочных типов 48
2.5. Элементарные типы языка C# 49
2.6. Оператор перечисления 50
2.7 Операторы typeof и sizeof в языке программирования C# 50
2.8 Оператор Struct языка программирования C# 51
2.9 Пространства имен 52
2.10 Оператор блока в языке C# 53
2.11 Описание локальной переменной в языке C# 54
2.12 Преимущества языка программирования C# 55
2.13 Недостатки языка программирования C# 55
3. Численное решение уравнения с дродной производной 51
3.1 Алгоритм, способы и методы реализации численного решения уравнения с дробной производной 51
3.2. Вычисление приближенного значения решения при различных начальных параметрах задачи 59
Заключение 62
Список использованной литературы 63
Приложение 1
Купить

Дифференциальные уравнения являются неотъемлемой частью не только математики, но и физики, математической биологии, химии и так далее. Например, вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме влаги в почвах и грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нагруженным дифференциальным уравнениям и нелокальным задачам для дифференциальных уравнений математической физики.
Нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики.
Также Самарским А.А. была поставлена задача с нелокальным условием общего вида для параболических уравнений:
При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий.
В этих же работах получены априорные оценки в нормах в дифференциальной и разностной трактовках.
Равномерно сходящиеся разностные схемы для нелокальной задачи построены следующим образом:
В работе Ионкина Н.И. «Разностные схемы повышенного порядка точности для одной неклассической краевой задачи» построены схемы повышенного порядка точности для решения нелокальной задачи Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.
Идея обобщения понятия дифференцирования на нецелые возникла с самого зарождения дифференциального исчесления, первые работы в этом направлении принадлежат Г.Лейбницу, Я. Бернулли, Л.Эйлеру и Ж.Фурье.
В 1832 – 1837 г.г. появляется серия работ Лиувилля, сделавших его создателем теории дробного исчисления. В работах Б.Римана, Х.Хольмгрена, А.Летникова, А.Грюнвальда было продолжено изучение производных любого порядка.
Что касается дифференциальных уравнений дробного порядка, то к первым работам по данной теории следует отнести L.O`Shaughnessy, S.Mandelbrojt. Задачу типа Коши для уравнения рассмотрели E.Pitcher, W.E.Sewell в своей работе, в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работы M.A.Bassam, A.Z.Al.Abedeen, H.L.Arora, где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Для этого уравнения редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.
Т.С. Алероев в своих работах исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения
Показано, что задача не имеет отрицательных собственных значений.
Еще раньше А.М. Нахушевым было показано, что число является собственным значением задачи
для этого уравнения тогда и только тогда, когда является нулем функции Миттаг-Леффлера
Целью работы является постановка и исследование: краевых задач для нагруженного уравнения теплопроводности и дифференциальной и разностной трактовке, нелокальных краевых задач типа Бицадзе-Самарского и Самарского-Ионкина для уравнения теплопроводности с переменными
коэффициентами в дифференциальной трактовке; краевых задач для волнового уравнения с дробно-производной по времени в дифференциальной трактовке, а так же нахождение численного решения смешанной задачи для параболического уравнения дробного порядка и реализация его на ЭВМ, опираясь на научные литературные источники, а также опыт и знания
полученные во время обучения.
В работе используется: метод энергетических неравенств и свойств функции Грина при получении априорных оценок для решений рассматриваемых дифференциальных и разностных задач, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и операторов
дробного интегро-дифференцирования.
Также в работе рассматриваются основные особенности, функции и операторы языка программирования C#, его преимущества и недостатки, на котором реализуется практическая часть работы.
Работа несет теоретический и практический характер. К теоретической части относится теория нагруженных уравнений и нелокальных краевых задач для стационарного и не стационарного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом, опираясь на литературные источники и научные статьи. В практической части реализация численного решения смешанной задачи для параболического уравнения дробного порядка на ЭВМ.
Методы исследования могут быть применены для решения широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений параболического типа. Разностные схемы, построенные для рассматриваемых задач, могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к данным уравнениям.
Основное содержание работы
Глава 1. Посвящена исследованию краевых задач для нагруженного стационарного и нестационарного уравнения управления теплопроводности.
Нелокальных краевых задач первого и второго пода для уравнений теплопроводности с переменными коэффициентами.
Глава 2. В данной главе рассматриваются вопросы, относящиеся к понятиям аппарата, истории развития, а также преимущества и недостатки языка программирования C# в сравнении с другими объектноориентированными языками программирования и его прародителями.
Рассматриваются особенности и расширенные возможности данного языка программирования. Таким образом, определено место языка программирования C# в семействе подобных ему языков и общей классификации.
Стоит отметить, что исследование языка программирования C# следует проводить в сравнении с аналогами, прежде всего, с такими хорошо известными языками программирования, как Java и Visual Basic. Первый представляет собой потенциально независимое от программной платформы (и операционной системы) средство создания программного обеспечения, а второй – относительно простой в освоении объектно-ориентированный язык программирования производства компании Microsoft.
Исследование основных выразительных возможностей синтаксиса языка программирования C# иллюстрируется примерами фрагментов программ с необходимыми комментариями. Особое внимание стоит уделить общей структуре программы на языке C#.
Сравнительный анализ языка C# в семействе современных языков ООП должен сопровождаться выводами относительно преимуществ и недостатков принципов реализации и синтаксиса языка.
Глава 3. В данной главе описывается алгоритм и постановка задачи, а также методы с помощью которых составляется программа реализующая численные решение смешанной задачи дифференциального уравнения дробного порядка. Глава поделена на две части.
В первой части указаны вспомогательные библиотеки, составляющие подпрограммы и вспомогательные модули, а также основные формулы и вычисления, исходя из которых, реализуется сама программа.
Во второй части описаны примеры
Купить