Помощь студентам в учебе
Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода
|
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. Обзор литературы 8
§1. Метод последовательных приближений 8
§2. Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению
уравнения вида х = Ах + f 15
§3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида х = Ax + f, где оператор A - матрица n - го порядка 21
§4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида х = F(х) + f, где F(х) - нелинейный оператор 27
ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора 32
§5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора 32
§6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора 41
ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к
точному решению операторного уравнения вида х = Ах + f 56
§7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах + f с квадратной матрицей А, в случае,
когда спектральный радиус матрицы А, больше чем единица 56
§8. Получение двусторонних оценок точного решения х* операторного уравнения вида х = Ах + f, в случае, когда спектральный радиус опера¬тора А не обязательно меньше единицы 65
§9. О некоторых подходах к уточнению границ решения операторных уравнений вида х = Ах + f в случае, когда спектральный радиус операто- 73 ра А не обязательно меньше единицы.
§10. “Гибрид” методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х* уравнения вида х = Ах + f и однопараметрического итеративного агрегирования 86
§11. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ax + f 93
§12. Об одном варианте метода Зейделя 100
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 112
ЛИТЕРАТУРА 114
ПРИЛОЖЕНИЕ 121
ГЛАВА 1. Обзор литературы 8
§1. Метод последовательных приближений 8
§2. Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению
уравнения вида х = Ах + f 15
§3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида х = Ax + f, где оператор A - матрица n - го порядка 21
§4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида х = F(х) + f, где F(х) - нелинейный оператор 27
ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора 32
§5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора 32
§6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора 41
ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к
точному решению операторного уравнения вида х = Ах + f 56
§7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах + f с квадратной матрицей А, в случае,
когда спектральный радиус матрицы А, больше чем единица 56
§8. Получение двусторонних оценок точного решения х* операторного уравнения вида х = Ах + f, в случае, когда спектральный радиус опера¬тора А не обязательно меньше единицы 65
§9. О некоторых подходах к уточнению границ решения операторных уравнений вида х = Ах + f в случае, когда спектральный радиус операто- 73 ра А не обязательно меньше единицы.
§10. “Гибрид” методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х* уравнения вида х = Ах + f и однопараметрического итеративного агрегирования 86
§11. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ax + f 93
§12. Об одном варианте метода Зейделя 100
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 112
ЛИТЕРАТУРА 114
ПРИЛОЖЕНИЕ 121
При решении широкого класса задач математического анализа, алгебры, экономики требуется находить решение операторных уравнений. В тех случаях, когда процесс отыскания точного решения является затруднительным, на помощь приходят итерационные методы, позволяющие найти приближенное решение с определенной степенью точности. Соответствующий класс задач можно представить с помощью операторного уравнения вида
х = Ax+f (1)
с линейным или нелинейным оператором А, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом f из этого пространства.
Большое практическое значение приобретает возможность строить приближения un и, соответственно, vn к решению х* операторного уравнения вида (1), такие что
*
un < х ^ vn
При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории приближенных методов решения операторных уравнений - задача об оценке погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке относительной погрешности приближенного решения.
Использование современных ЭВМ открывает широкие возможности для решения таких задач. Математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных и прикладных разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в экономике. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных экономических процессов.
Существенные прикладные преимущества, проведенные исследования практической скорости сходимости итерационных процессов к точному решению х операторного уравнения вида (1), возможность контроля результатов в процессе решения и наличие математических обоснований, дают повод обратить серьезное внимание на итерационные методы не только как на объект интересных теоретических исследований, но и как на новые подходы к организации и проведению реальных расчетов плановых задач большой размерности и сложной структуры.
Актуальность проблемы. Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в этом продукте. Отсюда происходит название модели.
Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод.
За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году была удостоена Г осударственной премии СССР. В настоящее время большое количество работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отображает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.
В связи с внедрением ЭВМ в научные разработки, значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком под¬ходе к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных и более общих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений. Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок.
х = Ax+f (1)
с линейным или нелинейным оператором А, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом f из этого пространства.
Большое практическое значение приобретает возможность строить приближения un и, соответственно, vn к решению х* операторного уравнения вида (1), такие что
*
un < х ^ vn
При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории приближенных методов решения операторных уравнений - задача об оценке погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке относительной погрешности приближенного решения.
Использование современных ЭВМ открывает широкие возможности для решения таких задач. Математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных и прикладных разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в экономике. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных экономических процессов.
Существенные прикладные преимущества, проведенные исследования практической скорости сходимости итерационных процессов к точному решению х операторного уравнения вида (1), возможность контроля результатов в процессе решения и наличие математических обоснований, дают повод обратить серьезное внимание на итерационные методы не только как на объект интересных теоретических исследований, но и как на новые подходы к организации и проведению реальных расчетов плановых задач большой размерности и сложной структуры.
Актуальность проблемы. Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в этом продукте. Отсюда происходит название модели.
Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод.
За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году была удостоена Г осударственной премии СССР. В настоящее время большое количество работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отображает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.
В связи с внедрением ЭВМ в научные разработки, значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком под¬ходе к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных и более общих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений. Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок.
Проведенные в диссертационной работе исследования направленные на разработку новых методов решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса). Получены следующие научные и практические результаты.
1. Разработан и апробирован на большом количестве примеров итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах + f с квадратной матрицей A, в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, больше чем единица.
2. Предложен метод получения двусторонних оценок точного решения х* операторного уравнения вида х = Ах + f, в случае, когда спектральный радиус не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок. Метод проиллюстрирован соответствующими примерами.
3. Получен синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х* уравнения вида х = Ах + f и однопараметрического итеративного агрегирования.
4. Предложен вариант метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ах + f, в котором упрощена задача поиска начальных приближений.
5. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант метода Зейделя, позволяющий строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида х = Ах + f.
6. Составлена библиотека программ на языке программирования TURBO PASCAL, которая позволяет реализовывать полученные в данной работе методы и алгоритмы.
Таким образом:
- Разработаны новые методы решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса), обладающих высокой скоростью сходимости последовательностей к точному решению данных уравнений, а также способностью сходится к точному решению даже в тех случаях, когда спектральный радиус оператора больше единицы.
- Разработан комплекс программ на языке программирования TURBO PASCAL, реализующих эти алгоритмы.
1. Разработан и апробирован на большом количестве примеров итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах + f с квадратной матрицей A, в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, больше чем единица.
2. Предложен метод получения двусторонних оценок точного решения х* операторного уравнения вида х = Ах + f, в случае, когда спектральный радиус не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок. Метод проиллюстрирован соответствующими примерами.
3. Получен синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х* уравнения вида х = Ах + f и однопараметрического итеративного агрегирования.
4. Предложен вариант метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ах + f, в котором упрощена задача поиска начальных приближений.
5. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант метода Зейделя, позволяющий строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида х = Ах + f.
6. Составлена библиотека программ на языке программирования TURBO PASCAL, которая позволяет реализовывать полученные в данной работе методы и алгоритмы.
Таким образом:
- Разработаны новые методы решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса), обладающих высокой скоростью сходимости последовательностей к точному решению данных уравнений, а также способностью сходится к точному решению даже в тех случаях, когда спектральный радиус оператора больше единицы.
- Разработан комплекс программ на языке программирования TURBO PASCAL, реализующих эти алгоритмы.