Тема: Графический интерфейс для анализа динамических систем

В последнее время огромное распространение получает компьютерное моделирование, так как вычислительная мощность современных компьютеров и техники постоянно растет. Построение компьютерной модели какого-либо процесса или объекта часто начинают с описания соответствующей динамической системы. Под динамической системой подразумевают совокупность некоторых элементов в заданный момент времени и закон, однозначно определяющий изменение (эволюцию) состояния во времени.
С точки зрения энергии динамические системы делятся на диссипативные и консервативные. В отличие от диссипативных систем, энергия консервативных систем не изменяется с течением времени. В данной работе будут рассматриваться именно консервативные системы. Большинство консервативных физических процессов можно описать в терминах гамильтоновой системы с соответствующей функцией Гамильтона (гамильтонианом). Анализ таких систем имеет широкое применение во многих областях науки, таких как физика, химия, биология и так далее.
Исследование консервативных систем является очень актуальным в сфере космологических задач. Пример такой системы — солнечная система. Очевидно, компьютерное моделирование и анализ консервативных систем является необходимым инструментом в данной области, так как астрономические исследования ресурсозатратны, а иногда и невозможны. Одной из практически распространенных задач в этой области является задача Хенона-Хейлеса.
Более того, большое применение анализ гамильтоновых систем находит в физике пучков. В последнее время стали появляться сложные электрофизические установки, такие как ускоритель частиц. В реальном мире физик не может точно знать, что произойдет в результате работы машины при изменении различных параметров, поэтому приходится проводить различные тесты, изменяя те или иные опции для достижения желаемого результата. Однако это приводит к большим ресурсным затратам. Поэтому более целесообразно все тесты проводить на виртуальной машине. Вот почему компьютерное моделирование гамильтоновых систем в области физики пучков занимает одну из важнейших позиций в современной научной картине мире. Такой системой описывается движение электрона в электромагнитном поле.
С использованием гамильтонова подхода к описанию механики, динамическую систему можно описать системой из 2п дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Для построения численной модели необходимо провести интегрирование заданной системы уравнений.
При численном моделировании динамических систем на длительных промежутках времени важной особенностью является проблема сохранения ее энергии. В терминах данной проблемы говорят о свойстве симплектичности гамильтоновых систем. Именно поэтому важно выбрать такой метод интегрирования, который будет сохранять симплектическую структуру гамильтониана. Такие методы называются симплектическими. В данной работе будут рассмотрены:
• стандартные схемы Рунге-Кутты;
• симплектический вариант методов Рунге-Кутты;
• симплектические методы Эйлера и Штермера-Верле.
При проведении анализа также рассматривают такое понятие, как фазовый портрет - изображение, характеризующее качественное поведение решений системы или, проще говоря, графическое изображение точек, полученных путем интегрирования системы. Целью данной работы является создание программного продукта с удобным графическим пользовательским интерфейсом для интегрирования гамильтоновых систем разными методами и их анализа путем изменения различных параметров. Программа должна позволять строить и отображать фазовые портреты анализируемых систем.
Обобщая вышесказанное, сформулируем более точно актуальность данной работы.
Актуальность темы.
Как говорилось выше, анализ динамических систем имеет большое значение в самых разных областях науки. Несмотря на то, что в наше время динамические системы повсеместно исследуются, свойство симплектичности нередко не упоминается или не рассматривается, что может привести к ошибочным выводам. Следует также отметить, что русскоязычные источники на данную тематику практически отсутствуют, а существующие не всегда актуальны и обладают полной необходимой информацией.
Есть большое количество разных численных методов интегрирования, а программного продукта, реализующего их как единое целое, нет. Большая часть применяемых вычислительных программных пакетов, таких как Matlab или Maple, не имеют должного графического интерфейса. Вследствие этого они сложны в освоении для рядового пользователя, не являющегося специалистом в информационных технологиях.
Более того, разрабатываемая программа будет полезной не только для исследователей различных областей науки, но и в качестве наглядного пособия для преподавателей и обучающихся на профильных и специализированных курсах.

Купить

В данной работе была рассмотрена проблема сохранения энергии при численном моделировании динамических систем. Так как ими можно описать большую часть физических процессов, компьютерное моделирование таких систем - актуальная задача во многих областях науки. В рамках данной работы, в силу своей распространенности, были рассмотрены гамильтоновы системы, которые описываются системой ОДУ первого порядка. Для компьютерного моделирования необходимо произвести численное интегрирование этих уравнений. После изучения соответствующей литературы были выбраны и реализованы симплектические интеграторы: симплектический метод Рунге-Кутты (метод Гаусса-Лежандра) и метод Штермера-Верле.
Было разработано программное обеспечение, предоставляющее исследователю инструментарий для разностороннего изучения динамических систем. Программный продукт имеет хорошо оформленный графический интерфейс и удовлетворяет заявленным требованиям. Приложение позволяет строить фазовые портреты систем, варьировать параметры, сравнивать результаты. Имеется возможность добавления пользовательских систем и удаления уже добавленных, а также сохранения полученных фазовых портретов в виде файлов изображений.
Перспективы развития программной части:
• добавление в программу новых методов интегрирования для более разнообразного анализа динамических систем;
• распараллеливание вычислений для решения более масштабных и сложных задач;
• внедрение разработанного продукта в обучающие программы университета в виде облачного сервиса, например, при помощи Microsoft Azure.
С помощью созданной программы была решена задача Хенона-Хейлеса, изучено ее поведение. Также был смоделирован маятник с нелинейным возмущением. Приложение использовалось для анализа эфолюции гамильтониана при использовании методов, сохраняющих энергию и нет. Было произведено практическое подтверждение теоретических утверждений, рассмотренных в работе, а именно экспериментально показано, что методы Гаусса-Лежандра и Штермера-Верле сохраняют первый интеграл близким к исходному. При использовании симплектических методов гамильтониан менялся в пределах определенного диапазона.
Из вышесказанного следует, что была достигнута сформулированная цель и выполнены поставленные задачи.

Купить