Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Обзор методов глобального анализа чувствительности ... 8
1.1 Метод элементарных эффектов
(Elementary Effect Method— EEM) 8
1.2 Метод Соболя (Sobol Method) 9
1.3 Метод разложения в полиномиальный хаос (PCE Method). . 12
1.4 Метод ПАВН (PAWN Method) 15
Глава 2. Модели изменения внутриглазного давления при интравитреальных инъекциях 16
2.1 Моделирование глаза как сферической оболочки 17
2.2 Моделирование глаза как эллипсоидальной оболочки .... 20
Результаты 22
1. О методе валидации 22
2. Обработка экспериментальных данных 23
3. Анализ чувствительности 24
4. Калибровка параметра EffE) 26
5. Калибровка параметра E3 27
6. Нахождение валидационной ошибки модели (14) 29
7. Анализ чувствительности моделей с откалиброванными пара¬
метрами 29
Заключение 32
Список литературы 33
Приложение 37
Биомеханика глаза человека на сегодняшний день является быстро развивающейся областью. За последние несколько десятилетий множество исследований показало, что методы биомеханики предоставляют клинически надёжные результаты, объясняющие механизмы многих офтальмологических заболеваний, например, невропатию головки зрительного нерва, развивающуюся с возрастом дальнозоркость, катаракту, различные патологии роговицы, отслоение сетчатки и др. [1]. Сотрудничество специалистов разных областей науки (биологии, математики, механики) принесло свои плоды в таких отраслях медицины как лазерная коррекция зрения, контроль развития глаукомы, катаракты и пресбиопии.
Интравитриальные инъекции являются эффективным способом лечения (или частью лечения) различных заболеваний глаза [2-5], например, отёки и воспаления внутренних оболочек глаза, диабетический макулярный отёк, возрастная макулярная дегенерация и т. д., и количество применений данной метода лечения растёт с каждым годом [6]. При интравитреальных инъекциях непосредственно в стекловидное тело вводится лекарственное средство объёмом 0.05 мл, 0.1 мл или 0.2 мл в зависимости от рекомендаций врача. Побочное явление данного метода — резкое повышение внутриглазного давления пациента, что может привести к повреждению глазного нерва и внутренних оболочек глаза даже при непродолжительном воздействии. В случаях, когда внутриглазное давление пациента ещё до введения инъекции высокое, врачи рекомендуют уменьшить дозу инъекционного препарата.
С помощью методов биомеханики, например, конечно-элементного моделирования, можно разработать модели изменения внутриглазного давления при интравитреальных инъекциях, но параметры таких моделей, в связи с природой своего происхождения, не всегда могут быть вычислены точно (как, например, модуль упругости склеры, [7]), поэтому возникает необходимость качественного изучения таких моделей, например, при помощи валидации модели и последующего анализа чувствительности.
Анализ чувствительности — качественный анализ модели и её пара-метров, помогающий ответить на вопрос: какие параметры оказывают наибольшее влияние на результат модели. Разделяют локальный и глобальный анализ чувствительности. Локальный исследует поведение модели только в одной точке области изменения параметров, в то время как глобальный охватывает всю данную область, и именно поэтому в данной работе рассматриваются методы глобального анализа чувствительности. Применяя методы анализа чувствительности, можно фиксировать невлиятельные параметры и проводить более точные численные эксперименты.
Валидация — процесс, посредством которого результаты расчётов на основе модели сравниваются с экспериментальными данными для оценки ошибки моделирования. Он состоит из трёх этапов: 1) численные эксперименты на основе полученной модели 2) выбор метрики валидации
3) проведение оценки по выбранной метрике. Главная задача исследователя — верно выбрать метрику валидации. Комбинация методов валидации и анализа чувствительности позволяет получать больше информации о параметрах, которые сложно или невозможно вычислить точно.
Постановка задачи
I Провести анализ чувствительности разработанных ранее [8,9] математических моделей изменения внутриглазного давления.
II На основе предоставленных экспериментальных данных вычислить плотности вероятности случайных величин, характеризующих геометрию оболочки глаза.
III Используя введенный валидационный критерий, вычислить параметры распределения характеристик материала модели (модулей упругости).
IV Провести сравнение плотностей вероятности изменения давления, найденных на основе рассматриваемых моделей, с данными эксперимента.
Результаты анализа чувствительности моделей (13), (12) и (14) представлены в табл. 8 и на рис. 12. На основе предоставленных экспериментальных данных (Приложение, табл. 9) вычислены плотности вероятности случайных величин, характеризующих геометрию оболочки глаза (рис. 3, табл. 2). С использованием введённого формулой (15) валидационного критерия вычислены параметры распределения характеристик материала моделей, модулей упругости (табл. 5, 6). Проведено сравнение плотностей вероятности изменения давления, найденных на основе рассматриваемых моделей, с данными эксперимента (Приложение, табл. 9), результаты представлены на рис. 13.
В моделях (13), (12) и (14) глаз человека моделируется как шар или эллипсоид, заполненный несжимаемой жидкостью и покрытым оболочкой, состоящей из одного слоя. На основе результатов, представленных в таблицах 5 и 6, на рис. 7 и 9, можно заключить, что данный слой является трансверсально-изотропным. По результатам, представленным в таблицах 5, 6 и значении валидационной ошибки, полученной в пункте 6, можно сделать вывод, что изменение внутриглазного давления при интравитреальных инъекциях наилучшим образом описывается математической моделью в предположении, что форма глаза человека близка к эллипсоиду.
По результатам анализа чувствительности, представленных в таблицах 4, 8 и на рис. 5, 12, можно заключить, что как на модели (13), (12), так и на модель (14) наибольшим влиянием обладают: объём инъекции А V, внутренний радиус оболочки R1и модуль упругости E(E1), а наименьшим — коэффициенты Пуассона ^12(^), ^13- Следовательно, именно эти параметры должны быть определяющими в решении врачей о способе лечения и дозировке препарата. Законы распределения всех параметров моделей представлены в таблице 7.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
