ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 8
1.1. Наблюдаемые нелинейные эффекты 8
1.2. Основные положения механики гибких стержней 10
1.3. Вывод нелинейной системы равновесия гибкого упругого стержня для
общего случая статической неопределимости 11
ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ГИБКОГО
УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 23
2.1. Общий случай решения статических уравнений системы 23
2.2. Частные решения системы для случая постоянной крутки стержня .. 25
2.3. Частный случай эволюции формы стержня в виде однородной
цилиндрической спирали 31
ГЛАВА 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ
MATLAB 36
3.1. Использование численных методов для решения нелинейных систем
дифференциальных уравнений 36
3.2. Численное решение нелинейной системы уравнений равновесия
гибкого упругого стержня в случае постановки начальной задачи 36
3.3. Численное решение нелинейной системы уравнений равновесия
гибкого упругого стержня в случае постановки краевой задачи 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 49
ПРИЛОЖЕНИЕ
Гибкие стержни широко применяют в различных областях техники: их используют в качестве упругих элементов различных приборов, например, в качестве чувствительных элементов в акселерометрах и частотных преобразователях, механических низкочастотных фильтров в электронной технике, аккумуляторов механической энергии в часовых механизмах и др. Приборы времени, использующие гибкие стержни, широко распространены не только как часы, но и как преобразователи стабильных сигналов в различных устройствах автоматики[1].
Целью данной работы является формулировка уравнений математической модели эволюции формы гибкого стержня при его кручении, ее численная реализация и верификация. Работа направлена на создание инструмента для исследования нелинейных явлений, обнаруженных в эксперименте.
Объект исследования: эволюция формы гибкого стержня с
закрепленными концами при его кручении.
Современное состояние исследования:
В статье [2] обсуждается кинетическая аналогия Кирхгофа, связывающая основные уравнения для статики упругих стержней и динамики твердых тел в свете нескольких различных гамильтоновых формулировок, включая неканоническое описание равновесий стержней. Особое внимание уделяется восстановлению осевой линии стержня из переменных каркаса, которые образуют полное пространство конфигурации в интерпретации твердого тела.
В статье [3] рассматривается геометрическая теория стержней для случая естественно прямого, линейно упругого, нерастяжимого, круглого стержня, испытывающего изгиб и кручение, но не сдвигающегося. Исследуется поведение таких стержней под воздействием конечного момента и натяжения, явно вычисляются геометрические свойства изогнутых стержней. В едином подходе, использующем динамическую аналогию Кирхгофа, рассматриваются как классическая спиральная, так и более недавно исследованная локализованная потеря устойчивости. Особое внимание уделяется последовательной трактовке концепций связи, скручивания и изгиба.
В статье [4] показано, что равномерный и гиперэластичный, но в любом случае произвольный нелинейный стержень Коссера, подверженный соответствующим конечным нагрузкам, имеет равновесия, центральные линии которых образуют двухпараметрические семейства спиралей.
В статье [5] приведены результаты экспериментов по прогибу, включающих изгиб и скручивание стержней. Проводится сравнения с расчетами, основанными на теории стержней Коссера. Стержни зажаты в совмещенных патронах, и эксперименты проводятся в жестких условиях нагрузки. Эксперимент продолжается либо скручиванием концов стержня на определенную величину, а затем корректировкой провисания или фиксацией провисания и изменением величины закручивания. Таким образом, исследуются часто встречающиеся явления, такие как изгиб с защелкой, образование петель и выпучивание в и из плоских конфигураций. Эффект гравитации обсуждается.
В статье [6] представлены результаты испытаний на кручение сплошных цилиндрических образцов при фиксированном расстоянии между концами образца. Обнаружено возникновение осевого напряжения, сначала растягивающего, а затем - сжимающего образец, имеющего пульсационную составляющую с периодом один оборот. Представленные в работе экспериментальные данные обращают внимание на нелинейные эффекты, сопровождающие кручение сплошных металлических цилиндров при больших деформациях.
Задачи:
1. Вывод нелинейной системы уравнений равновесия гибкого упругого стержня;
2. Построение частного решения уравнений в форме однородной цилиндрической спирали для тестирования программы;
3. Написание программы в пакете MATLAB для численного решения краевых задач на кручение гибких стержней;
4. Численное решение ряда начальных и граничных задач на кручение гибкого стержня, в том числе воспроизведение решения в виде однородной цилиндрической спирали.
Научная новизна: заключается в том, что впервые была решена краевая задача с конкретными заданными условиями.
Практическая значимость: задача имеет фундаментальную ценность.
1. Выведена нелинейная система уравнений равновесия гибкого стержня при его кручении.
2. Получено точное частное решение системы, соответствующее конфигурации стержня в виде однородной цилиндрической спирали.
3. В пакете MATLAB написана программа численного решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты четвертого порядка. При этом решение краевой задачи сводилось к решению задачи Коши методом пристрелки. Корректная работа программы подтверждена воспроизведением решения в виде однородной цилиндрической спирали.
4. Получены и исследованы решения ряда начальных и краевых задач. Численная процедура проведена с путем подбора недостающих начальных условий.
5. В результате создан инструмент для исследования нелинейных эффектов при кручении гибкого стержня.
