Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЯВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Большое число объектов и процессов природы можно представить с помощью такой математической модели, как нелинейная динамическая система. Ученые активно занимаются нелинейными системами лишь последние 50 - 60 лет в связи с открытиями в них детерминированного хаоса. Детерминированный хаос возникает в диссипативных и консервативных системах. К последним относят гамильтоновы системы, активно изучаемые в классической механике. В таких системах хаос можно наблюдать с помощью построения фазового портрета или сечения поверхности Пуанкаре.
Для класса нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых часто описывается эволюция динамической системы, не существует универсального способа решения. Это сильно затрудняет изучение нелинейных систем и вынуждает применять для получения решения численные методы. Известно, что численное решение всегда обладает методической погрешностью. Также численные методы не учитывают свойства определенного класса систем. Для гамильтоновых систем характерно свойство симплектичности, которое нарушается при решении системы дифференциальных уравнений распространёнными численными методами. Получаемые численные решения демонстрируют поведение, похожее на хаотическое. Существуют способы учитывать свойство симплектичности в численном решении и, таким образом, отличать динамический хаос от неточности решения системы.
В данной работе будет рассматриваться метод последовательных приближений решения системы дифференциальных уравнений в идеологии матричного формализма на примере негармонического осциллятора. Также для решения данной системы будут вычислены симплектические коэффициенты. На примеры негармонического осциллятора будет продемонстрирована разница в решении системы уравнений с учётом симплектичности и без неё.
Постановка задачи
Целью данной выпускной квалификационной работы является исследование нерегулярного поведения динамической системы для негармонического осциллятора и поиск способов для устранения данной проблемы. Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:
• изучить основные понятия и определения в области динамических систем и детерминированного хаоса;
• изучить методы решения нелинейных систем;
• изучить динамическую систему для негармонического осциллятора с помощью готовых численных методов математического пакета Maple 15;
• решить систему дифференциальных уравнений движения негармонического осциллятора методом последовательных приближений решения;
• вычислить симплектические поправки к решению данной системы;
• изучить и сравнить полученное решение с численными решениями, полученными ранее посредством готовых методов, с помощью математического пакета Maple 15.
Обзор литературы
Нарушение свойства симплектичности гамильтоновой системы при её решении может привести к тому, что поведение динамической системы при построении фазового портрета её решения будет казаться хаотическим. В статье [19] автор рассматривает динамическую систему, описывающую поведение негармонического осциллятора. Решив систему методом рядов Тейлора 4-го порядка, автор строит фазовый портрет, на котором можно выделить области хаотического и регулярного движения. После автор описывает методы рядов Тейлора и Рунге-Кутта, коэффициенты которых учитывают свойство симплектичности гамильтоновых систем. Далее демонстрируются фазовые портреты новых решений, на которых не наблюдается нерегулярного движения.
В статье [16] исследовательская группа разработала специальный алгоритм для изучения динамики гамильтоновых систем. Алгоритмы были разработаны и проанализированы с помощью фреймворка симплектической геометрии. Этот алгоритм разработан только для гамильтоновых систем, благодаря чему в нём отсутствуют шаги и действия для негамильтоновых систем. Были проведены численные эксперименты, подтверждающие пользу и выгоду использование данного алгоритма для гамильтоновых систем.
В статье [14] рассматриваются численные методы для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику осциллятора. Рассматриваются алгоритмические и аналитические различия в построении методов для изучения осциллятора с почти постоянными высокими частотами и переменными высокими частотами. В первом случае применяются методы тригонометрического интегрирования. Во втором случае - адиабатического интегрирования для систем, решение которых зависит от частоты. В обоих случаях авторы старались найти такие алгоритмы для вышеуказанных методов, которые будут совершать «большие» шаги и экономить вычислительные ресурсы.
В диссертации [17], посвященной исследованию сохранения периодичности в вариационном численном интегрировании, автор рассматривает гамильтоновы системы. Углублённо изучаются вариационные методы, сохраняющие периодичность траектории гамильтоновых систем. Это также важное свойство поведения гамильтоновых систем, связанное со свойством симплектичности. В результате исследований и экспериментов автору удаётся показать, что предложенные М. Вестом вариационные интеграторы однозначно определяют параметры для симплектического одношагового метода, позволяющего сохранить периодичность траекторий гамильтоновых систем.
Таким образом, гамильтоновы системы являются актуальной областью для изучения, в связи с большим интересом к ним множества исследователей. Для решения таких систем создано много численных методов и алгоритмов. В некоторых работах авторы создают специальные инструменты для решения именно гамильтоновых систем, другие авторы изменяют уже существующие численные методы, что позволяет учитывать особенности гамильтоновых систем.
Купить

Гамильтоновы системы классической механики используются для описания движения планет и астероидов в космосе, для движения частиц в ускорителях. Эти направления науки бурно развиваются и поэтому важно помогать решать задачи в этих областях. Нарушение свойства симплектичности при решении гамильтоновых дифференциальных систем может дать неверное представление о поведение реального объекта, который описывает гамильтонова система.
В данной выпускной квалификационной работе были изучены понятия и определения динамической системы, детерминированного хаоса, гамильтонов и матричный формализм. Также подробно разобран метод последовательных приближений решения систем дифференциальных уравнений в идеологии матричного формализма и метод поиска симплектических коэффициентов. Эти методы были применены для изучения системы негармонического осциллятора. Были получены результаты, согласно которым учёт симплектичности гамильтоновых систем имеет значительное влияние на вид решения системы.

Купить