Введение 4
1. Постановка задачи 5
2. Методы решения 7
2.1. Линейно - алгебраический метод 7
2.2. Геометрический метод 10
3. Программная реализация 13
4. Создание трёхмерной модели 16
4.1. Необходимые вычисления 16
4.2. Реализация 19
Заключение 24
Список литературы 25
Приложение А. Исходный код программы на Python 26
Многогранной поверхностью называется поверхность, состоящая из набора плоских многоугольников (например, треугольников или параллелограммов). Элементами многогранной поверхности являются её вершины, рёбра — стороны граней и грани, которыми являются многоугольники.
Согласно известной классификации [1], многогранные поверхности могут быть изгибаемыми. Их особенностью является то, что пространственную форму можно изменить непрерывной деформацией. В процессе такой деформации каждая грань не изменяет своих размеров (движется как твёрдое тело), а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов.
Отдельный интерес представляют изгибаемые поверхности, составленные из равных выпуклых 4-угольников, допускающие плоскую реализацию (в виде замощения плоскости). Они нашли применение в промышленности в качестве солнечных панелей для космических аппаратов [2]. Также они используются и в архитектурном дизайне: изогнутые фасады или крыши из четырехугольных стеклянных панелей встречаются в современных городах. Известны условия, при которых такие поверхности обладают свойством изгибаемости: комплекс, состоящий из граней и её 8 соседей, допускает непрерывное изменение [3].
В большинстве известных работ, связанных с исследованием свойств изгибаемых поверхностей, рассматриваемые случаи сводятся к рассмотрению общей модели. Интерес состоит в том, чтобы произвести численное моделирование изгибаемой поверхности.
Выбранная тема не только представляет собой увлекательное математическое исследование, но и будет актуальна благодаря наличию приложений в архитектуре и технической деятельности.
В работе рассматривается частный случай изгибаемых многогранных поверхностей: поверхностей, составленных из равных параллелограммов.
Цель выпускной квалификационной работы состоит в:
1. Определении параметров, описывающих изгибаемую многогранную поверхность, составленную из равных параллелограммов.
2. Поиске алгоритма, позволяющего вычислить координаты произвольного участка поверхности по данному набору параметров.
3. Программной реализации трёхмерной модели данной поверхности.
4. Адаптации данной модели с целью обеспечения возможности её SD-печати.
В результате выполнения выпускной квалификационной работы были решены следующие задачи:
1. Описано движение вершин поверхности, параметризованной длинами сторон параллелограмма, углом а параллелограмма и двугранным углом сгиба у.
2. Смоделирован полученный результат.
3. Разработана трёхмерная модель по полученному результату.
Созданная модель поверхности позволяет наглядно увидеть особенности и свойства рассмотренного частного случая изгибаемых многогранных поверхностей. Таким образом, цель выпускной квалификационной работы считаю достигнутой.
