УСТОЙЧИВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ РАСШИРЕННОЙ ТЕОРИЕЙ ЧЕРНА-САЙМОНСА С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ЗАРЯЖЕННЫМ СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ
|
Введение 2
1 Теории производного типа 7
1.1 Симметрии и законы сохранения 9
1.2 Включение согласованных взаимодействий 13
1.2.1 Взаимодействие на уровне первичных теорий 13
1.2.2 Взаимодействие между теориями производного типа 16
2 Устойчивые взаимодействия между расширенной теорией Черна-
Саймонса и заряженным скалярным полем 21
2.1 Свободная расширенная теория Черна-Саймонса порядка N 21
2.2 Устойчивые заимодействия с заряженным скалярным полем 24
3 Гамильтонов формализм 28
3.1 Гамильтонова формулировка расширенной теории Черна-Саймонса 28
3.2 Включение взаимодействий в гамильтоновом формализме 32
Заключение 36
Приложение
Список литературы
1 Теории производного типа 7
1.1 Симметрии и законы сохранения 9
1.2 Включение согласованных взаимодействий 13
1.2.1 Взаимодействие на уровне первичных теорий 13
1.2.2 Взаимодействие между теориями производного типа 16
2 Устойчивые взаимодействия между расширенной теорией Черна-
Саймонса и заряженным скалярным полем 21
2.1 Свободная расширенная теория Черна-Саймонса порядка N 21
2.2 Устойчивые заимодействия с заряженным скалярным полем 24
3 Гамильтонов формализм 28
3.1 Гамильтонова формулировка расширенной теории Черна-Саймонса 28
3.2 Включение взаимодействий в гамильтоновом формализме 32
Заключение 36
Приложение
Список литературы
Для полевых теорий с высшими производными известную проблему представляет неустойчивость на взаимодействующем уровне, а также в квантовой теории [1–4].
Наиболее обсуждаемыми полевыми теориями с высшими производными являются модифицированные теории гравитации, для которых также рассматривался вопрос устойчивости [5–7]. Среди данных моделей, теории f(R)-гравитации [8,9] представляют собой наиболее известный пример устойчивой нелинейной полевой теории с высшими производными.
Некоторые модели с похожими свойствами описывались в [10–12]. Устойчивость в данном
классе теорий с высшими производными связана с тем, что их каноническая энергия ограничена благодаря наличию в системе сильных связей второго рода. Устойчивость различных нелинейных механических моделей с высшими производными обсуждалась в [13–17].
В настоящей работе рассматривается класс моделей с высшими производными, называемый теориями производного типа. Полевые уравнения для свободных теорий производного типа определяются волновым оператором M, являющимся полиномом от другого
дифференциального оператора W первого или второго порядка. В работе будет показано,
что при выполнении определённых условий данный класс теорий допускает включение
устойчивых взаимодействий, причём устойчивость сохраняется и на квантовом уровне.
Многие хорошо известные модели с высшими производными попадают в класс теорий
производного типа. Например, заряженное скалярное поле с высшими производными типа Пайса-Уленбека является производной системой, где в качестве W выступает оператор
Д’Аламбера. Электродинамика Подольского [18] представляет собой производную теорию
с полиномом второго порядка от оператора Максвелла в качестве волнового оператора.
Расширенная теория Черна-Саймонса [19] является производной теорией векторного поля
на трёхмерном пространстве Минковского с волновым оператором, представляющим собой полином третьего порядка от оператора Черна-Саймонса ∗d , где ∗ – оператор Ходжа,
d – дифференциал де Рама. Электродинамика Подольского и теория Черна-Саймонса хорошо изучены с различных точек зрения [20–22]. Теории конформной гравитации в измерениях 4 и 6 также представляют собой теории производного типа. В работах [23–25] было
показано, что при специальном выборе граничных условий данные теории могут рассматриваться как устойчивые. В настоящей работе используется другой подход к проблеме
устойчивости, не связанный с наложением специальных граничных условий.
Простейшему случаю полевых уравнений производного типа, изучаемому в [26], соответствует волновой оператор, представляющий собой полином второго порядка от некоторого другого оператора. Было выяснено, что на свободном уровне существуют две различные сохраняющиеся величины, связанные с трансляцией по времени. Одна их этих
величин является канонической энергией, в то время как вторая представляет собой другой независимый интеграл движения. Если эта вторая величина ограничена, теория будет
устойчивой на классическом уровне, кроме того устойчивость может быть перенесена на
квантовый уровень [26]. В работе [27] изучался более общий вид теорий производного типа,
волновой оператор которых представляет собой полином произвольного конечного порядка n от другого оператора (соотношение (1.6) настоящей работы). Если первичный оператор W допускает некоторую симметрию, она может быть связана с n сохраняющимися
тензорами производной системы. В частности, если одна из симметрий W – однородность
времени, то имеется n независимых сохраняющихся величин, включая каноническую энергию. В настоящей работе разработан ещё более общий подход для того, чтобы смягчить
ограничения на включение устойчивых взаимодействий, состоящий в том, что поля разделяются на различные поднаборы, в каждом из которых волновой оператор представляет
собой полином от некоторого другого оператора. В отличие от случая, рассмотренного
в [27], первичные операторы могут быть различными для различных поднаборов полей,
кроме того волновые операторы для различных полей определяются различными полиномами. Данный более общий подход на уровне свободных теорий обеспечивает большую
гибкость при включении взаимодействий.
Устойчивость взаимодействий в различных конкретных теориях с высшими производными производного типа изучалась ранее в работах [26–28]. В [29] был предложен метод
собственной деформации для систематического включения устойчивых взаимодействий в
теориях производного типа, устойчивых на свободном уровне. Важнейшим ингредиентом
данного метода является лагражев якорь, впервые введеный в [30] для БРСТ-квантования
не обязательно лагранжевой динамики. Как было показано в [31], лагранжев якорь связывает сохраняющиеся величины и симметрии, вне зависимости от того, являются уравнения теории лагранжевыми или нет. Для лагранжевых систем в качестве лагранжева
якоря выступает единичный оператор, который обеспечивает однозначное соответствие
между симметриями и сохраняющимися токами. В принципе, лагранжев якорь может
быть не единственным для заданной системы полевых уравнений. Если полевые уравнения допускают несколько лагранжевых якорей, одна и та же симметрия может быть
связана с различными сохраняющимися величинами. Как было отмечено в [26], даже простейшая теория производного типа с волновым оператором M, представляющим собой
полином второго порядка от другого дифференциального оператора W , допускает два
3различных лагранжевых якоря. Это означает существование ещё одной сохраняющейся
величины, помимо канонической энергии, связанной с независимостью от времени. Если
имеется лагранжев якорь, то общий метод, изложенный в [29], позволяет согласованно
включать взаимодействия в полевые уравнения движения, деформируя сохраняющиеся
величины, связанные с симметриями якоря. Если лагранжев якорь связывает симметрию
с ограниченной сохраняющейся величиной, система остаётся устойчивой при включении
взаимодействий с использованием метода собственной деформации.
Наиболее обсуждаемыми полевыми теориями с высшими производными являются модифицированные теории гравитации, для которых также рассматривался вопрос устойчивости [5–7]. Среди данных моделей, теории f(R)-гравитации [8,9] представляют собой наиболее известный пример устойчивой нелинейной полевой теории с высшими производными.
Некоторые модели с похожими свойствами описывались в [10–12]. Устойчивость в данном
классе теорий с высшими производными связана с тем, что их каноническая энергия ограничена благодаря наличию в системе сильных связей второго рода. Устойчивость различных нелинейных механических моделей с высшими производными обсуждалась в [13–17].
В настоящей работе рассматривается класс моделей с высшими производными, называемый теориями производного типа. Полевые уравнения для свободных теорий производного типа определяются волновым оператором M, являющимся полиномом от другого
дифференциального оператора W первого или второго порядка. В работе будет показано,
что при выполнении определённых условий данный класс теорий допускает включение
устойчивых взаимодействий, причём устойчивость сохраняется и на квантовом уровне.
Многие хорошо известные модели с высшими производными попадают в класс теорий
производного типа. Например, заряженное скалярное поле с высшими производными типа Пайса-Уленбека является производной системой, где в качестве W выступает оператор
Д’Аламбера. Электродинамика Подольского [18] представляет собой производную теорию
с полиномом второго порядка от оператора Максвелла в качестве волнового оператора.
Расширенная теория Черна-Саймонса [19] является производной теорией векторного поля
на трёхмерном пространстве Минковского с волновым оператором, представляющим собой полином третьего порядка от оператора Черна-Саймонса ∗d , где ∗ – оператор Ходжа,
d – дифференциал де Рама. Электродинамика Подольского и теория Черна-Саймонса хорошо изучены с различных точек зрения [20–22]. Теории конформной гравитации в измерениях 4 и 6 также представляют собой теории производного типа. В работах [23–25] было
показано, что при специальном выборе граничных условий данные теории могут рассматриваться как устойчивые. В настоящей работе используется другой подход к проблеме
устойчивости, не связанный с наложением специальных граничных условий.
Простейшему случаю полевых уравнений производного типа, изучаемому в [26], соответствует волновой оператор, представляющий собой полином второго порядка от некоторого другого оператора. Было выяснено, что на свободном уровне существуют две различные сохраняющиеся величины, связанные с трансляцией по времени. Одна их этих
величин является канонической энергией, в то время как вторая представляет собой другой независимый интеграл движения. Если эта вторая величина ограничена, теория будет
устойчивой на классическом уровне, кроме того устойчивость может быть перенесена на
квантовый уровень [26]. В работе [27] изучался более общий вид теорий производного типа,
волновой оператор которых представляет собой полином произвольного конечного порядка n от другого оператора (соотношение (1.6) настоящей работы). Если первичный оператор W допускает некоторую симметрию, она может быть связана с n сохраняющимися
тензорами производной системы. В частности, если одна из симметрий W – однородность
времени, то имеется n независимых сохраняющихся величин, включая каноническую энергию. В настоящей работе разработан ещё более общий подход для того, чтобы смягчить
ограничения на включение устойчивых взаимодействий, состоящий в том, что поля разделяются на различные поднаборы, в каждом из которых волновой оператор представляет
собой полином от некоторого другого оператора. В отличие от случая, рассмотренного
в [27], первичные операторы могут быть различными для различных поднаборов полей,
кроме того волновые операторы для различных полей определяются различными полиномами. Данный более общий подход на уровне свободных теорий обеспечивает большую
гибкость при включении взаимодействий.
Устойчивость взаимодействий в различных конкретных теориях с высшими производными производного типа изучалась ранее в работах [26–28]. В [29] был предложен метод
собственной деформации для систематического включения устойчивых взаимодействий в
теориях производного типа, устойчивых на свободном уровне. Важнейшим ингредиентом
данного метода является лагражев якорь, впервые введеный в [30] для БРСТ-квантования
не обязательно лагранжевой динамики. Как было показано в [31], лагранжев якорь связывает сохраняющиеся величины и симметрии, вне зависимости от того, являются уравнения теории лагранжевыми или нет. Для лагранжевых систем в качестве лагранжева
якоря выступает единичный оператор, который обеспечивает однозначное соответствие
между симметриями и сохраняющимися токами. В принципе, лагранжев якорь может
быть не единственным для заданной системы полевых уравнений. Если полевые уравнения допускают несколько лагранжевых якорей, одна и та же симметрия может быть
связана с различными сохраняющимися величинами. Как было отмечено в [26], даже простейшая теория производного типа с волновым оператором M, представляющим собой
полином второго порядка от другого дифференциального оператора W , допускает два
3различных лагранжевых якоря. Это означает существование ещё одной сохраняющейся
величины, помимо канонической энергии, связанной с независимостью от времени. Если
имеется лагранжев якорь, то общий метод, изложенный в [29], позволяет согласованно
включать взаимодействия в полевые уравнения движения, деформируя сохраняющиеся
величины, связанные с симметриями якоря. Если лагранжев якорь связывает симметрию
с ограниченной сохраняющейся величиной, система остаётся устойчивой при включении
взаимодействий с использованием метода собственной деформации.
Настоящая работа посвящена изучению некоторого класса полевых теорий с высшими
производными, теорий производного типа, с точки зрения включения устойчивых взаимодействий. Волновой оператор теории производного типа произвольного конечного порядка n представляет собой так называемый характеристический полином n-го порядка по
первичному оператору W. Теория, описываемая волновым оператором W, не содержащим
высшие производные, является первичной по отношению к рассматриваемой производной
теории. Каждая симметрия первичной теории порождает семейство симметрий производной теории, которые в свою очередь связаны с семейством независимых сохраняющихся
величин. В частности, трансляционная инвариантность первичной модели порождает nпараметрическое семейство сохраняющихся тензоров, которое, в случае когда выполнены
определённые условия на корни характеристического полинома, может содержать ограниченные снизу величины. Канонический тензор энергии-импульса, не ограниченный снизу
всегда, также содержится в данном семействе. Если на свободном уровне теория производного типа допускает ограниченные сохраняющиеся величины, она считается устойчивой.
Был рассмотрен вопрос включения взаимодействий между двумя различными полевыми теориями производного типа, одна из которых предполагалась калибровочноинвариантной. Кроме того, первичные теории изучаемых моделей должны были допускать
согласованные и устойчивые взаимодействия и обладать калибровочной симметрией, остающейся абелевой на взаимодействующем уровне. В этом случае для соответствующих производных теорий имелось (n + N)-параметрическое семейство согласованных взаимодействий, где n ; N – порядки характеристических полиномов рассматриваемых моделей. На
свободном уровне данные теории производного типа допускали (n + N)-параметрическое
семейство сохраняющихся тензоров. При включении взаимодействий один из тензоров
данного семейства, определяемый фиксированным набором постоянных взаимодействия,
продолжал сохраняться. В случае лагранжевых взаимодействий такой сохраняющейся величиной является канонический тензор энергии-импульса. Так как каноническая энергия
всегда не ограничена, лагранжевы взаимодействия неустойчивы. Таким образом, было
показано, что если теория производного типа допускает ограниченные сохраняющиеся
величины, они могут сохраняться при включении подходящих согласованных и пуанкареинвариантных взаимодействий, так что теория останется устойчивой и на взаимодействующем уровне, но с нелагранжевой вершиной.
Несмотря на то, что в рассматриваемом классе теорий с высшими производными все
36устойчивые вершины взаимодействия нелагранжевы, они всё ещё допускают квантование,
что связано с существованием лагранжевого якоря для нелагранжевой полевой теории, а
также возможностью построения для неё гамильтонова формализма.
Описанный в работе общий метод включения согласованных взаимодействий проиллюстрирован на примере расширенной теории Черна-Саймонса порядка N и комплексного
скалярного поля с высшими производными типа Пайса-Уленбека порядка 2n. Было показано, что для рассматриваемых теорий класс нелагранжевых вершин взаимодействия
сохраняет уникального представителя семейства симплектических структур, чьи параметры фиксированы значениями констант связи, что позволяет сохранить устойчивость
динамики и даёт возможность последовательного квантования теории на взаимодействующем уровне.
производными, теорий производного типа, с точки зрения включения устойчивых взаимодействий. Волновой оператор теории производного типа произвольного конечного порядка n представляет собой так называемый характеристический полином n-го порядка по
первичному оператору W. Теория, описываемая волновым оператором W, не содержащим
высшие производные, является первичной по отношению к рассматриваемой производной
теории. Каждая симметрия первичной теории порождает семейство симметрий производной теории, которые в свою очередь связаны с семейством независимых сохраняющихся
величин. В частности, трансляционная инвариантность первичной модели порождает nпараметрическое семейство сохраняющихся тензоров, которое, в случае когда выполнены
определённые условия на корни характеристического полинома, может содержать ограниченные снизу величины. Канонический тензор энергии-импульса, не ограниченный снизу
всегда, также содержится в данном семействе. Если на свободном уровне теория производного типа допускает ограниченные сохраняющиеся величины, она считается устойчивой.
Был рассмотрен вопрос включения взаимодействий между двумя различными полевыми теориями производного типа, одна из которых предполагалась калибровочноинвариантной. Кроме того, первичные теории изучаемых моделей должны были допускать
согласованные и устойчивые взаимодействия и обладать калибровочной симметрией, остающейся абелевой на взаимодействующем уровне. В этом случае для соответствующих производных теорий имелось (n + N)-параметрическое семейство согласованных взаимодействий, где n ; N – порядки характеристических полиномов рассматриваемых моделей. На
свободном уровне данные теории производного типа допускали (n + N)-параметрическое
семейство сохраняющихся тензоров. При включении взаимодействий один из тензоров
данного семейства, определяемый фиксированным набором постоянных взаимодействия,
продолжал сохраняться. В случае лагранжевых взаимодействий такой сохраняющейся величиной является канонический тензор энергии-импульса. Так как каноническая энергия
всегда не ограничена, лагранжевы взаимодействия неустойчивы. Таким образом, было
показано, что если теория производного типа допускает ограниченные сохраняющиеся
величины, они могут сохраняться при включении подходящих согласованных и пуанкареинвариантных взаимодействий, так что теория останется устойчивой и на взаимодействующем уровне, но с нелагранжевой вершиной.
Несмотря на то, что в рассматриваемом классе теорий с высшими производными все
36устойчивые вершины взаимодействия нелагранжевы, они всё ещё допускают квантование,
что связано с существованием лагранжевого якоря для нелагранжевой полевой теории, а
также возможностью построения для неё гамильтонова формализма.
Описанный в работе общий метод включения согласованных взаимодействий проиллюстрирован на примере расширенной теории Черна-Саймонса порядка N и комплексного
скалярного поля с высшими производными типа Пайса-Уленбека порядка 2n. Было показано, что для рассматриваемых теорий класс нелагранжевых вершин взаимодействия
сохраняет уникального представителя семейства симплектических структур, чьи параметры фиксированы значениями констант связи, что позволяет сохранить устойчивость
динамики и даёт возможность последовательного квантования теории на взаимодействующем уровне.