Устойчивость тонких пластин с отверстием, находящихся под действием одноосного растяжения в классической постановке исследовалась во многих работах, например, [1,2,3]. В работах [2,3] отмечается, что, по- видимому, исторически первой работой о потери устойчивости растягиваемой пластины с отверстием была работа Седаевой Е.М.[1]. Однако и в работе [1], и в серии других работ этого автора, была допущена ошибка в знаке нагрузки, вследствие чего результаты получились заниженными, т.е. этими результатами пользоваться нельзя. В книге [3] приведены кратко все результаты трех работ Седаевой Е.М., ссылающейся на эту работу, приводятся результаты авторов, полученные при решении этой задачи, однако существенное расхождение результатов (и величины критической нагрузки и формы потери устойчивости) никак не комментируется. В данной работе в первую очередь еще раз представлена корректная постановка и решение классической задачи. Точное решение классической задачи необходимо для сравнения с последующими решениями усложненных задач, а именно, задач, в которых учитываются эффекты поверхностных натяжений, так как особенностью деформирования наноразмерных пластин и оболочек является наличие поверхностного эффекта [4,5,6], который усиливается при уменьшении геометрических размеров объекта.
Локальная потеря устойчивости тонких пластин с отверстием на макроуровне активно исследовалась в 80-е годы [3, 7]. В частности, задача о локальном выпучивании тонкого одноосно растянутого упругого листа с эллиптическим отверстием была решена вариационными методами [2,3] в рамках линеаризированной системы уравнений Кармана. Решение такой задачи сводится к решению обобщенной задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения
A A Z А А Г О d2W , п d2w , „ п d2w ]
ДДи/ (х, у) = Л [<£ — + а°у — +2 < — (1)
в котором А - оператор Лапласа, w - прогиб пластины, соответствующий собственному числу и заданным кинематическим и статическим краевым условиям, ахх = р(Ухх, оуу = рауу, вху = раху - компоненты тензора напряжений в решении соответствующей плоской задачи теории упругости, х,у - декартова прямоугольная система координат.
где h - толщина пластины, E - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона, R -
_ ~ ~ ~ _ I minA характерный линейный размер отверстия, к = механическая природа подобного локального выпучивания у свободных кромок отверстия связана с образованием локальных зон сжимающих окружных напряжений при одноосном растяжении пластины вдали от отверстия.
В работе исследована потеря устойчивости при растяжении бесконечной пластины с круговым отверстием с учетом поверхностных эффектов. Был рассмотрен классический случай задачи (без учета поверхностных сил) и проведен сравнительный анализ относительно классического случая двух следующих добавлений: учет поверхностных сил на границе отверстия и учет поверхностных сил вдоль всей пластины. В результате получено, что изменения изгибной жесткости пластины играют бОльшую роль, чем учет поверхностных сил на границе отверстия. Численный анализ производился в программе Maple.
