Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 6
Глава 1. Решение задачи 7
Глава 2. Синтез траекторий, удовлетворяющих принципу максимума . 13
2.1. Случаи с одним и двумя моментами переключения скорости . 13
2.2. Случаи с двумя моментами переключения скорости 17
2.3. Случаи с тремя моментами переключения скорости 23
Выводы 36
Заключение 37
Список литературы 38
Приложение 39
Управляемый объект — объект, поведение которого контролируется человеком. Люди уже давно научились воздействовать на окружающие их процессы, с целью добиться от них необходимых результатов. В повседневной жизни управляемые процессы и объекты встречаются в различных сферах деятельности человека, например, в экономике, технике, производственной деятельности. Будь то запуск микроволновой печи на конкретное время с определённой мощностью или же вывод спутника на заданную орбиту. Всё это является частью математической теории автоматического управления. С течением времени к управляемым процессам появляются дополнительные требования. Спутник хочется запустить на максимально высокую орбиту с минимальным затратом топлива, а еду в микроволновой печи хочется приготовить за минимальное время. С этого момента появляется новая математическая теория, которая была создана в середине 50-х годов и получила название «теории оптимальных процессов». Выдающуюся роль в этом сыграл «принцип максимума», высказанный Л. С. Понтрягиным в качестве гипотезы и подробно исследованный В. Г. Болтянским, З. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко [1].
Кроме подходов, использующих методы теории оптимального управления для решения задач того же класса была разработана теория дифференциальных игр. «Когда собака гонится за кроликом, то даже если она всё время видит его, она не знает его дальнейшего поведения и может руководствоваться лишь знанием физических возможностей кролика и своих собственных. Таково своеобразие задачи преследования одного управляемого объекта другим управляемым объектом... Конечно, здесь речь идёт не о животных, а о технических объектах, но у этих объектов предполагается некоторая свобода действия, аналогичная свободе воли животных.» [2] Такими словами начинается книга Р. Айзекса «Дифференциальные игры». Ранее, в 1951 году в отчёте для RAND corporation [3] Айзекс предложил и описал игру «шофёр-убийца». В данной работе рассматривается задача, основанная на этой игре.
Для данной системы было доказано, что при одновременном переключении скорости и курсового угла на интервалах постоянства управления курсовым углом существует не более одной точки переключения скорости. На основании этого было получено 13 вариантов движения.
Так как аналитически решить задачу невозможно, то было предложено численное решение задачи, причём задачу решения системы трансцендентных уравнений удалось свести к задаче минимизации, в большинстве случаев одномерной, на заданном интервале, и только в двух случаях к двумерной минимизации. Также была доказана лемма, утверждающая, что если на всём участке траектории есть три точки переключения скорости, причём вторая является и точкой переключения курсового угла, то значения курсовых углов в первый и третий моменты равны.
Часть результатов данной работы было продемонстрированно в докладе на XLVII международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость».
