Вступление 3
1. Введение 4
1.1. Шестивершинная модель 4
1.2. Марковский процесс 6
1.2.1. Граф состояний и марковская матрица 6
1.2.2. Основная теорема о стационарных распределениях 7
2. Результаты 8
2.1. DWBC (Domain Wall Boundary Conditions) 9
2.1.1. Концентрация вершин при А = 0 10
2.1.2. Неквадратные области 12
2.1.3. Индуцированные граничные условия на неквадратной области 16
2.2. Более общие граничные условия 17
Заключение 22
Список литературы
Шестивершинная модель отличается сильной корелляцией между своими граничными условиями и равновесным состоянием. В термодинамическом пределе на решетке возникает граница раздела, отделяющая замороженную фазу, определяемую граничными условиями, от внутренней фазы, определяемой энергетическими параметрами системы. Форма этой границы может сильно варьироваться и зависит как от граничных условий и формы решетки, так и от энергетических параметров. В некоторых случаях она представляет собой алгебраические кривые, такие как окружность и циклоида.
В работе было рассмотрено моделирование равновесных состояний шестивершинной модели при помощи марковского процесса и сравнение аналитического и численного значения концентрации вершин в точке свободных фермионов.
Также были рассмотрены предельные формы на неквадратной решетке и разработан алгоритм для построения состояний с сохранением числа путей.
Была рассмотрена реализация алгоритма Метрополиса-Гастингса, использующая случайное блуждание на взвешенном графе состояний для моделирования равновесных состояний шестивершинной модели. Для точки свободных фермионов было проведено сравнение концентрации вершин типа ’с’ для аналитического выражения и для значения, полученного с помощью симуляции. Наблюдается сходимость численного значения к аналитическому при увеличении размера решетки, что и ожидалось для термодинамического предела.
Также, для класса граничных условий с сохранением числа путей на смежных парах границ был разработан алгоритм для построения начальных состояний, требующихся для старта алгоритма семплирования.
С помощью модифицированного исходного Марковского процесса была получена возможность получать равновесные состояния для односвязных неквадратных областей. Для семплирования на неодносвязных областях требуется другой подход, в связи с приводимостью на них соответствующей цепи Маркова. Данная проблема интересна возможностью получения численных результатов на решетках со сложной топологией, и оставлена на дальнейшее изучение.
