ЭПИСТЕМОЛОГИЧЕСКИЕ И ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ МАТЕМАТИКИ
|
Введение 5
Глава 1. Проблема применимости математики 9
Глава 2. Платонизм и анти-платонизм в свете применимости математики ... 16
Глава 3. Математический платонизм и аргумент Куайна-Патнэма 22
Глава 4. Номиналистическая программа Хартри Филда 37
Заключение 56
Список литературы 59
Глава 1. Проблема применимости математики 9
Глава 2. Платонизм и анти-платонизм в свете применимости математики ... 16
Глава 3. Математический платонизм и аргумент Куайна-Патнэма 22
Глава 4. Номиналистическая программа Хартри Филда 37
Заключение 56
Список литературы 59
Бесспорно, что математика играет огромную роль в существующих научных теориях. Она не только делает выражение некоторых научных теорий изящным и экономичным, но и позволяет делать невероятно точные эмпирические предсказания. Природа отношений между математикой и физическим миром была предметом споров со времен пифагорейцев. Философская традиция, отражающая идеи Платона, состоит в убеждении, что математические объекты имеют свое собственное существование, независимое от нашего мышления. Из этого положения вытекает представление о том, что математические формы лежат в основе физической Вселенной и ждут своего открытия. Противоположная точка зрения состоит в том, что математические понятия являются результатом человеческого воображения, и мы создаем их по ходу дела, приспосабливая их к описанию реальности. Общей для этих противоположных мнений является идея о том, что математика имеет априорный характер. В первом случае математика представлена миром идей, который является первичным по отношению к нашему мышлению и к физической реальности. Во втором случае математика является продуктом чистого разума человека. Такой же общей для этих случаев будет постановка проблемы: каким образом свободная от эмпирического содержания, абстрактная математическая теория может быть полезна для эмпирических наук?
Мы используем математику как самый эффективный инструмент научного познания мира, но, тем не менее, до сих пор не имеем представления о том, почему математика применима к физической реальности. В 1959 году известный физик Юджин Вигнер придумал фразу «непостижимая эффективность математики», чтобы описать это «чудо», которое, по его мнению, не может быть осмысленно. Математик Ричард У. Хэмминг, чья работа оказала глубокое влияние в области информатики и электронной техники, вернулся к этому вопросу в 1980 году. Физик-инженер 5
Дерек Аббот продолжил начатую ими дискуссию в статье «Постижимая неэффективность математики» 2013 года. Эти работы физиков, математиков и инженеров являются редким примером распространения философской дискуссии в кругах ученых, и, безусловно, обосновывают актуальность данной тематики. Более того, философские работы, на которые я основывалась в своем исследовании, датируются с середины XX века и до настоящего дня.
Ключевыми в моем исследовании являются работы Уилларда Ван Ормана Куайна, Марка Коливана и Хартри Филда. Также я использовала массу комментаторской литературы, представленной в лице следующих авторов: Джон П. Берджесс и Гидеон Розен, Джоффри Хеллман и Мери Ленг, Чарльз Чихара и многие другие. Как я уже сказала, проблема применимости математики в виде вопроса о соотношении абстрактных понятий и физических объектов является традиционной для философии. И естественно, что проблема освещена с совершенно разных углов и достаточно подробно. Однако существование противоположных направлений философии математики, математического платонизма и номинализма, которые совершенно по-разному видят решение этой проблемы, показывает, что нет однозначно разработанного представления о том, каким образом и почему математика применима к миру. Следовательно, существует свободное поле для исследований в рамках заданной тематики.
Объектом моего исследования является соотношение абстрактных математических понятий и физических явлений. Предметом исследования является существование абстрактных сущностей и эпистемический доступ к абстрактным объектам. Цель моего исследования - сохранить аргумент о неустранимости математики из науки, отказавшись от его платонистических следствий. Задачи исследования:
1. Рассмотреть предпосылки принятия аргумента о неустранимости математики Куайна-Патнэма, которые приводит Марк Коливан.
2. Выявить основные особенности природы математического знания в онтологии и эпистемологии Куайна.
3. Оценить, насколько адекватна интерпретация Марка Коливана доктрины холизма Куайна.
4. Рассмотреть номиналистическую программу Хартри Филда,
направленную против аргумента о неустранимости математики из науки.
5. Выявить основные особенности природы математического знания в рамках номиналистической программы Хартри Филда.
6. Рассмотреть и оценить основания принципа консервативного
расширения теорий Хартри Филда, который обосновывает
устранимость математики из науки .
В своей работе я использовала следующие методы исследования: изучение материалов научных и периодических изданий по поставленной проблеме; сравнение и сопоставление противоположных решений поставленной проблемы; теоретический анализ онтологических и эпистемологических условий применимости математики; экспликация природы математической истины и онтологических обязательств признания истинности математического утверждения; мысленный эксперимент.
Аргумент о неустранимости математики из науки Куайна-Патнэма в формулировке Марка Коливана является главным аргументом в пользу математического платонизма. Основным тезисом моей работы является утверждение о том, что предпосылки данного аргумента в интепретации Коливана искажают онтологию Куайна и не могут служить обоснованием математического платонизма. В то же время я утверждаю, что номиналистическая программа Хартри Филда, которая является возражением на аргумент о неустранимости математики Куайна-Патнэма, оказывается безосновательной в своих философских основаниях. Новизна моего исследования заключается в том, что я соглашаюсь с принятием аргумента о неустранимости математики, отказываясь от тех следствий, которые ведут к точке зрения математического платонизма. Значимость моего исследования заключается в теоретическом вкладе в развитие данной проблематики. Результаты моего исследования открывают возможность альтернативного осмысления природы математического знания и, соответственно, позволяют иначе посмотреть на процесс концептуализации и познания мира.
Апробация работы осуществлялась в рамках Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2019» в МГУ, XXI международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы социальных наук» в ТГУ и 57-й Международной научной студенческой конференции «МНСК-2019» в НГУ.
Мы используем математику как самый эффективный инструмент научного познания мира, но, тем не менее, до сих пор не имеем представления о том, почему математика применима к физической реальности. В 1959 году известный физик Юджин Вигнер придумал фразу «непостижимая эффективность математики», чтобы описать это «чудо», которое, по его мнению, не может быть осмысленно. Математик Ричард У. Хэмминг, чья работа оказала глубокое влияние в области информатики и электронной техники, вернулся к этому вопросу в 1980 году. Физик-инженер 5
Дерек Аббот продолжил начатую ими дискуссию в статье «Постижимая неэффективность математики» 2013 года. Эти работы физиков, математиков и инженеров являются редким примером распространения философской дискуссии в кругах ученых, и, безусловно, обосновывают актуальность данной тематики. Более того, философские работы, на которые я основывалась в своем исследовании, датируются с середины XX века и до настоящего дня.
Ключевыми в моем исследовании являются работы Уилларда Ван Ормана Куайна, Марка Коливана и Хартри Филда. Также я использовала массу комментаторской литературы, представленной в лице следующих авторов: Джон П. Берджесс и Гидеон Розен, Джоффри Хеллман и Мери Ленг, Чарльз Чихара и многие другие. Как я уже сказала, проблема применимости математики в виде вопроса о соотношении абстрактных понятий и физических объектов является традиционной для философии. И естественно, что проблема освещена с совершенно разных углов и достаточно подробно. Однако существование противоположных направлений философии математики, математического платонизма и номинализма, которые совершенно по-разному видят решение этой проблемы, показывает, что нет однозначно разработанного представления о том, каким образом и почему математика применима к миру. Следовательно, существует свободное поле для исследований в рамках заданной тематики.
Объектом моего исследования является соотношение абстрактных математических понятий и физических явлений. Предметом исследования является существование абстрактных сущностей и эпистемический доступ к абстрактным объектам. Цель моего исследования - сохранить аргумент о неустранимости математики из науки, отказавшись от его платонистических следствий. Задачи исследования:
1. Рассмотреть предпосылки принятия аргумента о неустранимости математики Куайна-Патнэма, которые приводит Марк Коливан.
2. Выявить основные особенности природы математического знания в онтологии и эпистемологии Куайна.
3. Оценить, насколько адекватна интерпретация Марка Коливана доктрины холизма Куайна.
4. Рассмотреть номиналистическую программу Хартри Филда,
направленную против аргумента о неустранимости математики из науки.
5. Выявить основные особенности природы математического знания в рамках номиналистической программы Хартри Филда.
6. Рассмотреть и оценить основания принципа консервативного
расширения теорий Хартри Филда, который обосновывает
устранимость математики из науки .
В своей работе я использовала следующие методы исследования: изучение материалов научных и периодических изданий по поставленной проблеме; сравнение и сопоставление противоположных решений поставленной проблемы; теоретический анализ онтологических и эпистемологических условий применимости математики; экспликация природы математической истины и онтологических обязательств признания истинности математического утверждения; мысленный эксперимент.
Аргумент о неустранимости математики из науки Куайна-Патнэма в формулировке Марка Коливана является главным аргументом в пользу математического платонизма. Основным тезисом моей работы является утверждение о том, что предпосылки данного аргумента в интепретации Коливана искажают онтологию Куайна и не могут служить обоснованием математического платонизма. В то же время я утверждаю, что номиналистическая программа Хартри Филда, которая является возражением на аргумент о неустранимости математики Куайна-Патнэма, оказывается безосновательной в своих философских основаниях. Новизна моего исследования заключается в том, что я соглашаюсь с принятием аргумента о неустранимости математики, отказываясь от тех следствий, которые ведут к точке зрения математического платонизма. Значимость моего исследования заключается в теоретическом вкладе в развитие данной проблематики. Результаты моего исследования открывают возможность альтернативного осмысления природы математического знания и, соответственно, позволяют иначе посмотреть на процесс концептуализации и познания мира.
Апробация работы осуществлялась в рамках Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2019» в МГУ, XXI международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы социальных наук» в ТГУ и 57-й Международной научной студенческой конференции «МНСК-2019» в НГУ.
Проблема применимости математики не ограничивается
эпистемологическими вопросами о том, какую роль играет математика в научном познании и каким образом мы можем предсказывать события физической реальности с помощью абстрактных математических теорий. Она также затрагивает вопрос об онтологическом статусе математических объектов. В силу того, что разграничить онтологию и эпистемологию крайне сложно, эти вопросы встают в сильную зависимость друг от друга. Является ли логическая необходимость математических истин существенным признаком самой природы, поскольку математические формы лежат в основе физической Вселенной и ждут своего открытия, или же математические истинность определяется нашей способностью мыслить именно так, а не иначе? Обусловлено ли математическое знание эмпирическими фактами или оно имеет особенную, независимую от опыта природу? В зависимости от ответов на эти вопросы, так или иначе, решается проблема применимости математики.
Одним из самых известных дискурсов в контексте применимости математики является спор между математическим платонизмом и номинализмом, который разворачивается вокруг аргумента о неустранимости математики из науки. Эксплицитная формулировка этого аргумента принадлежит Марку Коливану, который в обосновании платонистических следствий аргумента опирается на философию Уилларда Ван Ормана Куайна. Согласно его взглядам, доктрины натурализма и подтверждающего холизма Куайна накладывают онтологическое обязательство на математические компоненты научных теорий, и тем самым оправдывают убеждение в независимом от сознания существовании математических объектов. В своей работе я попыталась доказать, что доктрина подтверждающего холизма Куайна является следствием его идеи семантического холизма, согласно которому, среди прочего, невозможно
разделение аналитических и синтетических истин. Соответственно, невозможно и доказательство априорной, или аналитической, природы математики, что идет вразрез с убеждениями математического платонизма. Принимая доктрины натурализма и подтверждающего холизма Куайна, мы обязаны принять доктрину семантического холизма и его специфическую теорию референции. Последняя дает инструмент ограничения онтологии от любых нежелательных сущностей, что переводит вопрос о неустранимости математики из онтологического контекста в прагматический, поскольку вопрос о том, что признавать существующим, становится вопросом о том, что удобно и выгодно с точки зрения эпистемологии признавать таковым. Согласно философии Куайна, математика, как и вся наука в целом, является человеческой конструкцией, концептуальной схемой эмпирического опыта. Накладывая онтологическое обязательство на определенную
концептуальную схему, мы просто передаем вопрос о том, что является реальным, в руки науки и верим в это до тех пор, пока нам выгодно и удобно в это верить. Математика по сути является таким же эпистемически выгодным мифом, как и постулирование физических объектов. И скорее именно поэтому она неустранима из науки, нежели наоборот.
Одним из самых радикальных возражений на аргумент о неустранимости математики является номиналистическая программа Хартри Филда, которая иллюстрирует техническую возможность устранения математики из науки. С одной стороны, эта программа доказывает принципиальную возможность номиналистической интерпретации науки, что дает основания для убеждения в том, что математика является лишь удобной, а не необходимой, концептуальной схемой. С другой стороны, прагматическая выгода такой формулировки, как заметил Марк Коливан, действительно сомнительна: несмотря на то, что объяснительная сила теории сохраняется, теряется, например, формальная элегантность и простота теории. Следовательно, номиналистическая программа Хартри Филда не доказывает необходимость номинализации науки, а значит, не опровергает аргумент о неустранимости математики из науки в прагматическом понимании Куайна. Более того, тезис Хартри Филда об устранимости математики в силу ее консервативности имеет крайне противоречивые основания. Автор одновременно настаивает на том, что математика имеет особый логически необходимый или даже априорный характер, и на том, что математика не может быть оценена с точки зрения истинности или ложности и не может быть описана с помощью понятия аналитичности. Соответственно, любые философские аргументы Филда в пользу устранимости математики вряд ли можно считать успешными.
Таким образом, в результате проделанного мной исследования, я пришла к нескольким выводам. Во-первых, имеется мало оснований для утверждения особой априорной природы математики и различения аналитических и синтетических истин. Это как минимум противоречит взглядам математического платонизма, как максимум сводит проблему применимости математики к проблеме концептуализации эмпирического опыта в целом. Во-вторых, единственный сильный аргумент в пользу математического платонизма, аргумент о неустранимости математики из науки, на самом деле имеет прагматический, а не онтологический характер. Если мы беремся обосновывать его с помощью онтологии и эпистемологии Куайна, мы обязаны отказаться от его платонистических следствий. И последний вывод касается программ номинализации науки. На мой взгляд, внимание должно быть отведено от попыток построения номиналистических онтологий к вопросу о том, каким образом происходит осмысление и создание любых (и математических, и физических) теоретических объектов, которые описываются наукой.
эпистемологическими вопросами о том, какую роль играет математика в научном познании и каким образом мы можем предсказывать события физической реальности с помощью абстрактных математических теорий. Она также затрагивает вопрос об онтологическом статусе математических объектов. В силу того, что разграничить онтологию и эпистемологию крайне сложно, эти вопросы встают в сильную зависимость друг от друга. Является ли логическая необходимость математических истин существенным признаком самой природы, поскольку математические формы лежат в основе физической Вселенной и ждут своего открытия, или же математические истинность определяется нашей способностью мыслить именно так, а не иначе? Обусловлено ли математическое знание эмпирическими фактами или оно имеет особенную, независимую от опыта природу? В зависимости от ответов на эти вопросы, так или иначе, решается проблема применимости математики.
Одним из самых известных дискурсов в контексте применимости математики является спор между математическим платонизмом и номинализмом, который разворачивается вокруг аргумента о неустранимости математики из науки. Эксплицитная формулировка этого аргумента принадлежит Марку Коливану, который в обосновании платонистических следствий аргумента опирается на философию Уилларда Ван Ормана Куайна. Согласно его взглядам, доктрины натурализма и подтверждающего холизма Куайна накладывают онтологическое обязательство на математические компоненты научных теорий, и тем самым оправдывают убеждение в независимом от сознания существовании математических объектов. В своей работе я попыталась доказать, что доктрина подтверждающего холизма Куайна является следствием его идеи семантического холизма, согласно которому, среди прочего, невозможно
разделение аналитических и синтетических истин. Соответственно, невозможно и доказательство априорной, или аналитической, природы математики, что идет вразрез с убеждениями математического платонизма. Принимая доктрины натурализма и подтверждающего холизма Куайна, мы обязаны принять доктрину семантического холизма и его специфическую теорию референции. Последняя дает инструмент ограничения онтологии от любых нежелательных сущностей, что переводит вопрос о неустранимости математики из онтологического контекста в прагматический, поскольку вопрос о том, что признавать существующим, становится вопросом о том, что удобно и выгодно с точки зрения эпистемологии признавать таковым. Согласно философии Куайна, математика, как и вся наука в целом, является человеческой конструкцией, концептуальной схемой эмпирического опыта. Накладывая онтологическое обязательство на определенную
концептуальную схему, мы просто передаем вопрос о том, что является реальным, в руки науки и верим в это до тех пор, пока нам выгодно и удобно в это верить. Математика по сути является таким же эпистемически выгодным мифом, как и постулирование физических объектов. И скорее именно поэтому она неустранима из науки, нежели наоборот.
Одним из самых радикальных возражений на аргумент о неустранимости математики является номиналистическая программа Хартри Филда, которая иллюстрирует техническую возможность устранения математики из науки. С одной стороны, эта программа доказывает принципиальную возможность номиналистической интерпретации науки, что дает основания для убеждения в том, что математика является лишь удобной, а не необходимой, концептуальной схемой. С другой стороны, прагматическая выгода такой формулировки, как заметил Марк Коливан, действительно сомнительна: несмотря на то, что объяснительная сила теории сохраняется, теряется, например, формальная элегантность и простота теории. Следовательно, номиналистическая программа Хартри Филда не доказывает необходимость номинализации науки, а значит, не опровергает аргумент о неустранимости математики из науки в прагматическом понимании Куайна. Более того, тезис Хартри Филда об устранимости математики в силу ее консервативности имеет крайне противоречивые основания. Автор одновременно настаивает на том, что математика имеет особый логически необходимый или даже априорный характер, и на том, что математика не может быть оценена с точки зрения истинности или ложности и не может быть описана с помощью понятия аналитичности. Соответственно, любые философские аргументы Филда в пользу устранимости математики вряд ли можно считать успешными.
Таким образом, в результате проделанного мной исследования, я пришла к нескольким выводам. Во-первых, имеется мало оснований для утверждения особой априорной природы математики и различения аналитических и синтетических истин. Это как минимум противоречит взглядам математического платонизма, как максимум сводит проблему применимости математики к проблеме концептуализации эмпирического опыта в целом. Во-вторых, единственный сильный аргумент в пользу математического платонизма, аргумент о неустранимости математики из науки, на самом деле имеет прагматический, а не онтологический характер. Если мы беремся обосновывать его с помощью онтологии и эпистемологии Куайна, мы обязаны отказаться от его платонистических следствий. И последний вывод касается программ номинализации науки. На мой взгляд, внимание должно быть отведено от попыток построения номиналистических онтологий к вопросу о том, каким образом происходит осмысление и создание любых (и математических, и физических) теоретических объектов, которые описываются наукой.
Подобные работы
- ЭПИСТЕМОЛОГИЧЕСКИЕ И ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ МАТЕМАТИКИ
Бакалаврская работа, философия. Язык работы: Русский. Цена: 4335 р. Год сдачи: 2019 - СОЦИАЛЬНАЯ ФИЛОСОФИЯ О. РОЗЕНШТОКА-ХЮССИ (АНАЛИЗ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВАНИЙ)
Дипломные работы, ВКР, философия. Язык работы: Русский. Цена: 4355 р. Год сдачи: 2016