Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 7
Глава 1 Два подхода к определению параметров системы по
результатам измерений 8
1.1. Метод наименьших квадратов 9
1.2. Гарантирующий подход 11
Глава 2 Оптимальный состав измерений 17
2.1. Статический случай - задача Эльвинга 17
2.2. Непрерывная модель. Одно переключение 19
2.3. Непрерывная модель. Несколько переключений 24
Глава 3 Выбор оптимального состава измерений в задачах спутниковой
навигации 28
3.1. Некоторые теоретические сведения 28
3.2. Анализ результатов на примере системы спутников 31
Выводы 34
Заключение 35
Список литературы
Задача определения и прогноза движения объекта по результатам наблюдений стоит перед человечеством с древних времен. Еще в Древней Греции античные философы и ученые наблюдали за движением Солнца, Луны и других объектов на небе. Долгое время задача определения движения небесных тел оставалась одной из первостепенных задач науки. В XV-XVIII веках совместными усилиями Коперника, Кеплера и Ньютона была получена математическая модель Солнечной системы. Однако основные параметры этой системы (массы небесных тел, их координаты и составляющие скоростей) не измерялись напрямую. Для их определения использовались угловые координаты небесных объектов, которые получались в процессе астрономических наблюдений. Так появилась задача определения параметров сложной реальной системы по результатам наблюдений за ее движением.
В настоящее время эта задача находит применение в различных сферах научной и повседневной деятельности. С помощью вычисления задержки сигнала от спутников определяются координаты объектов на земной поверхности. Задачи рассматриваемого типа ставятся в геодезии, картографии, физике, биологии и социологии.
Для эффективного решения таких задач в 1794 году Гауссом был изобретен специальный математический аппарат - метод наименьших квадратов, который достаточно хорошо себя зарекомендовал. С появлением мощной вычислительной техники, а также появившейся потребностью определять параметры состояния системы в процессе управления движением, стали развиваться статистические методы обработки информации. Однако вследствие недостаточной надежности результатов, полученных таким способом, все чаще стал применяться минимаксный подход.
Следует заметить, что при применении любого метода получается не точное состояние системы, а лишь некоторая оценка. При использовании метода наименьших квадратов любое дополнительное измерение улучшает (или по крайней мере не ухудшает) точность получаемой оценки при условии некоррелированности получаемых измерений. Однако чаще всего имеется ограничение на количество возможных измерений, таким образом, возникает задача правильного распределения этих измерений между имеющимися источниками наблюдения с целью увеличения точности получаемой оценки состояния системы.
В статическом случае, при известном измерительном базисе, решение задачи распределения измерений между объектами наблюдения дает метод Эльвинга. Однако на практике возникают задачи, когда и сами наблюдаемые объекты изменяют свое положение во времени. В этом случае задача становится в разы сложнее, так как оптимальный измерительный базис меняется с течением времени, и возникает потребность определить не только количество измерений с каждого источника, но также и последовательность снятия измерений. Исследованию этого вопроса и посвящена данная работа.
В первой главе приведены два основных подхода к решению задачи определения параметров системы по результатам измерений. Во второй главе рассмотрена комбинация этих методов, а также переход к непрерывной модели для динамического случая с одним переключением между наблюдаемыми объектами. Также в третьем параграфе второй главы предложен алгоритм нахождения оптимального количества переключений при ограничении их числа и вычисления моментов времени смены объекта наблюдения. В третьей главе алгоритм проиллюстрирован на примере задачи спутниковой навигации.
Таким образом, несмотря на существующий к настоящему времени мощный математический аппарат, а также увеличивающиеся с каждым годом технические возможности, проблема определения параметров системы по данным, получаемым в результате наблюдений, остается не до конца изученной. Результаты, полученные в ходе выполнения данной работы, могут послужить основой для дальнейших исследований. В частности, остается открытым вопрос о связи оптимального количества переключений с видом функций, которые соответствуют наблюдаемым объектам.
