Введение 3
Глава 1. Обзор литературы 5
1.1 Метод рядов Тейлора 5
1.2 Явные методы Рунге-Кутты 6
1.3 ЯМРК на основе разложений Лагранжа-Бюрмана 8
1.4 Устойчивость и жесткие задачи 10
1.5 Вывод 11
Глава 2. ЯМРК на основе разложений Лагранжа — Бюрмана 13
Глава 3. Исследование устойчивости 17
Заключение 24
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) имеют важное значение при моделировании многих прикладных задач в разных областях знания. Однако получить точное решение задач можно лишь для некото¬рых классов ОДУ, для которых функция, входящая в правую часть, име¬ет простой вид. Для подавляющего числа задач, имеющих практическое значение, получить решение в аналитическом виде невозможно. Поэтому широкое распространение получили различные численные методы.
При построении и исследовании численных методов, мы сталкиваем¬ся с проблемами устойчивости и точности метода. Проблема устойчивости особенно усложняется в случае жестких систем, характерных для задач химической кинетики, гидродинамики, теории электрических цепей. Из¬вестно, что для таких систем неявные методы дают лучший результат, чем явные методы. Но неявные методы имеют дополнительные сложности в реализации. В связи с этим актуально построение и исследование явных методов типа Рунге-Кутты с расширенной областью устойчивости.
В [1] предлагается подход к построению явных методов Рунге-Кутты на основе разложений Лагранжа-Бюрмана. За счет выбора функции, по которой идет разложение в формуле Лагранжа-Бюрмана, ее параметров и параметров метода Рунге - Кутты можно влиять на свойства таких ме¬тодов.
Работа состоит из введения, трех глав и заключения.
Первая глава является обзорной. В ней вводятся основные понятия и определения: задача Коши, метод рядов Тейлора, явные методы Рун¬ге-Кутты (ЯМРК), формула Лагранжа-Бюрмана и ЯМРК на ее осно¬ве, функция устойчивости, область устойчивости, жесткие задачи, схемы неявных методов, с которыми сравниваются исследуемые методы. В конце сформулированы цель и задачи работы.
Вторая глава посвящена явным методам Рунге-Кутты на основе раз-ложений Лагранжа-Бюрмана.
Третья глава посвящена исследованию устойчивости. Получены гра¬фики областей устойчивости. Приведено сравнение значений площадей областей устойчивости. Решены тестовые задачи. Приведено сравнение с неявными методами.
В заключении приведены основные результаты работы
Основные результаты работы:
1. Построены явные методы Рунге-Кутты на основе разложений Лагранжа-Бюрмана 1-3 этапов. Трехэтапный метод построен впер¬вые.
2. Проведено исследование устойчивости явных методов Рунге-Кутты 1-3 этапов, построенных на основе разложений Лагранжа-Бюрмана. Показано, что область устойчивости увеличивается при увеличении значения параметра 3.
3. При решении тестовых задач проведено сравнение с неявными мето¬дами. Показано, что явные методы Рунге-Кутты на основе разложе¬ний Лагранжа-Бюрмана могут применяться для решения жестких задач.
