Введение 4
Постановка задачи 6
Обзор литературы 7
Глава 1. Структурные методы интегрирования 8
1.1 Классы структурных особенностей систем ОДУ 8
1.1.1 Класс A 8
1.1.2 Класс B 9
1.1.3 Класс C 10
1.1.4 Обзор моделей 11
1.2 Метод интегрирования 12
Глава 2. Схемы шестого порядка класса B 16
2.1 Условия порядка 16
2.2 Семейство схем класса B 18
2.3 Интегрирование с переменным шагом. Оценка локальной
погрешности 18
2.4 Схема RKB6(4){7F} 20
Глава 3. Численное исследование моделей 22
3.1 Модель 1: точка либрации L1 22
3.2 Модель 2: орбита Аренсторфа 23
3.3 Результаты моделирования 24
Выводы 28
Заключение 29
Список литературы 30
Список рисунков 33
Стр.
Список таблиц 34
Приложение А. Семейство методов шестого порядка класса B . 35
Приложение Б. Текст программы ode46b 40
Системы дифференциальных уравнений являются одним из основных способов математического моделирования. Математическое описание сложных динамических процессов, протекающих в окружающем мире, зачастую приво-дит к системам, не имеющим аналитического решения. Кроме того, в некоторых задачах (например, в линейных СОДУ большого размера) вывод точного решения может оказаться сопряжён с трудозатратными вычислениями, и по-лучение приближённого решения с некоторой желаемой точностью будет более оправданным. Поэтому численные методы решения систем дифференциальных уравнений всегда будут необходимым инструментом математического модели-рования.
В начале XX века немецкий математик Карл Рунге разработал теорию гра¬фических численных методов, показав, как с помощью простейших инженерных инструментов на бумаге производить построения, аналогичные сложным мате¬матическим операциям вплоть до приближённого интегрирования скалярных дифференциальных уравнений [1]. Развитие вычислительной техники привело к тому, что теория Рунге оказалась не нужна, однако предложенные им идеи привели к созданию явных одношаговых методов Рунге—Кутты, позволявших получать приближённое решение вплоть до четвёртого порядка точности при сравнительно небольших трудозатратах: для точности порядка р требовалось р вычислений правой части СОДУ (р-этапные методы одношаговые методы, р 6 4).
Технологический рывок середины XX века принёс новые возможности ЭВМ и вместе с тем предъявил новые требования к точности численного интегрирования. Безрезультатные годы поиска пятиэтапных методов пятого по-рядка завершились разработкой теории Джона Бутчера, систематизировавшего процесс нахождения методов Рунге—Кутты. Бутчер показал, что для высоких порядков существуют ограничения («барьеры Бутчера»): при р > 5 методы р-ого порядка требуют не менее р +1 вычисление правой части СОДУ [2], а при р > 7 — не менее р + 2 [3; 4]. Эти ограничения а также трудоёмкость по¬лучения новых методов высокого порядка стали основными аргументами для поиска альтернатив классическим методам типа Рунге—Кутты.
Начиная с 1970-х лет наступает время бурного развития новых методов интегрирования и способов сравнения одних методов с другими. Важными свойствами становятся не только порядок точности, но также возможность автоматического управления длиной шага и устойчивость методов. Эрвин Фель-берг одним из первых предложил идею вложенных методов Рунге—Кутты, позволяющих существенно экономить вычисления с помощью автоматического управления длиной шага интегрирования [5]. Благодаря этому методы Рунге— Кутты обрели новую популярность, и вскоре на их основе были созданы схе¬мы Дж. Дорманда и П. Принса [6], одна из которых в качестве функции ode45 сейчас является основным интегратором среды MATLAB.
1. В работе в явном виде представлено семипараметрическое семейство шестиэтапных методов шестого порядка класса B.
2. При фиксированных значениях параметров представлена расчётная схема численного интегрированияа RKB6(4){7F}. Найденная схемы экономичны в плане меньшего количества вычислений правой части СОДУ по сравнению с уже существующими методами.
3. На базе расчётной схемы создана функция, аналогичная встроенному интегратору MATLAB ode45 в части автоматического выбора шага. При том же количестве этапов представленная функция ode46b имеет на один порядок точности больше.
4. Проведено численное исследование различных моделей механики с помощью полученных методов численного интегрирования. Продемон-стрирована эффективность в сравнении с известными классическими методами, в том числе с ode45.
